Boomdiagrammen en multi-Stageexperimenten

Boomdiagrammen vertegenwoordigen multi-fase experimenten door het vertakken door mogelijke uitkomsten en het verbinden van waarschijnlijkheden aan elke voorwaardelijke stap. In het kort: twee onafhankelijke eerlijke muntbollen hebben vier paden, elk met waarschijnlijkheid 1/2 × 1/2 = 1/4. De kans op precies één hoofd is de som van de HT- en TH-paden, wat 1/2 geeft.

Bomen zijn vooral nuttig wanneer latere waarschijnlijkheden afhankelijk zijn van eerdere resultaten, zoals in trekken zonder vervanging. De twee centrale regels vermenigvuldigen zich op een volledig pad en voegen elkaar exclusieve kwalificatiepaden toe. Deze gids legt uit waarom deze regels werken, hoe je branches kunt labelen en hoe je kunt controleren of de volledige boom voor elke mogelijkheid verantwoordelijk is.

Wat laat een kansboomdiagram zien?

Een boom begint met de startsituatie en splitst zich in branches voor de eerste –faseresultaten. Elk eindpunt splitst zich vervolgens weer voor de volgende fase, en gaat door tot een volledig experimenteel resultaat wordt geregistreerd. Een root-to-leaf pad vertegenwoordigt één volledige reeks resultaten.

Elke tak draagt de waarschijnlijkheid van zijn resultaat gezien de resultaten die al op dat pad zijn bereikt. In de eerste fase zijn er geen eerdere resultaten om aan te tonen. In latere stadia kan de branch waarschijnlijkheid veranderen omdat de toestand van het experiment is veranderd.

Bijkantoren die dezelfde knoop verlaten, moeten elkaar uitsluitende en gezamenlijk uitputtende alternatieven vormen. Hun waarschijnlijkheid is dus gelijk aan 1. Een knoop met takken rood en blauw is alleen compleet als elk volgend resultaat een van die kleuren is; elke extra categorie moet door het model worden opgenomen of uitdrukkelijk uitgesloten.

Waarom vermenigvuldig je waarschijnlijkheden langs een pad?

De vermenigvuldigingsregel staat P(A and B) = P(A)P(B given A). Een boom codeert dit direct: de eerste tak geeft P(A), en de tweede tak na A geeft de voorwaardelijke waarschijnlijkheid van B in die situatie. Hun product is de kans op het volgen van beide takken.

Voor drie fasen, vermenigvuldig de eerste waarschijnlijkheid met de tweede voorwaarde op de eerste en de derde voorwaarde op de eerste twee. Het algemene beginsel vereist geen onafhankelijkheid. Onafhankelijkheid laat toe dat later branche waarschijnlijkheden gelijk blijven aan hun onvoorwaardelijke waarden wanneer eerdere uitkomsten geen informatie over hen geven.

Voor onafhankelijke munt gooit met kop waarschijnlijkheid 0.5, heeft het pad HH waarschijnlijkheid 0.5 × 0.5 = 0.25. Voor een afhankelijk tekening experiment kan de tweede factor na elk eerste resultaat verschillend zijn. De boom helpt om die verschillende voorwaardelijke waarden aan de juiste geschiedenis te hechten.

Waarom voeg je waarschijnlijkheden toe van verschillende kwalificatiepaden?

Onderscheidende complete paden beschrijven elkaar exclusieve sequenties: één run kan niet eindigen als zowel HT als TH. Als een gebeurtenis verschillende dergelijke paden omvat, is de kans dat het de som is van hun pad waarschijnlijkheden. Deze toevoeging volgt de dissociated-event regel in plaats van een veronderstelling dat alle gebeurtenissen kunnen worden toegevoegd zonder overlapping.

Voor twee eerlijke muntworpjes, bevat precies één kop HT en TH. Elk pad heeft waarschijnlijkheid 1/4, dus de gebeurtenis waarschijnlijkheid is 1/4 + 1/4 = 1/2. Ten minste één hoofd omvat HH ook, geven 3/4.

Kies volledige paden of een andere partitie die niet wordt gecombineerd voordat u de som opsomt. Het toevoegen van een gedeeltelijke gebeurtenis zoals de eerste worp is H aan het volledige pad HH zou – tellen HH. Een goed – gemerkte boom maakt het gemakkelijker om te zien of de geselecteerde takken elkaar overlappen of afzonderlijke eindresultaten vertegenwoordigen.

Hoe bouw je een boom voor tekening zonder vervanging?

Een tas bevat 3 rode en 2 blauwe tellers, en twee zijn getekend zonder vervanging. De eerste – fase waarschijnlijkheden zijn rood 3/5 en blauw 2/5. Na een rode draw, 2 rood en 2 blauw blijven, dus de tweede – fase waarschijnlijkheden zijn 2/4 en 2/4.

Na een blauwe draw, 3 rood en 1 blauw blijven, dus de tweede – stage waarschijnlijkheden zijn 3/4 en 1/4. De noemer verandert van 5 naar 4 omdat één teller is verwijderd. De teller hangt af van de kleur die is verwijderd, dus de tweede-stap takken kunnen niet allemaal dezelfde breuken gebruiken.

De volledige padwaarschijnlijkheden zijn RR = (3/5)(2/4) = 3/10, RB = 3/10, BR = (2/5)(3/4) = 3/10 en BB = (2/5)(1/4) = 1/10. Ze tellen samen tot 1, wat bevestigt dat de vier kleursequenties het experiment bestrijken.

Hoe bereken je een gebeurtenis uit de voltooide boom?

Met behulp van de tellerboom bevat het evenement één teller van elke kleur RB en BR. Voeg hun verscheiden kansen toe: 3/10 + 3/10 = 3/5. De bestelling wordt niet gespecificeerd in het geval, dus beide mogelijke bestellingen moeten worden opgenomen.

De gebeurtenis ten minste één rood omvat RR, RB en BR, geven 9/10. Een kortere route maakt gebruik van zijn complement, geen rood, wat het BB pad is: 1 − 1/10 = 9/10. De twee methoden komen overeen en bieden een onafhankelijke controle op de selectie van de evenementen.

De gebeurtenis dezelfde kleur omvat RR en BB, 3/10 + 1/10 = 2/5. Het is het complement van een van elke kleur, waarvan de waarschijnlijkheid 3/5. Het vertalen van de formulering voor het berekenen helpt om precies één, minstens één en beide, die verschillende sets van paden te selecteren, te onderscheiden.

1. Bepaal elke fase en de mogelijke resultaten.
2. Label elke tak met zijn voorwaardelijke waarschijnlijkheid.
3. Vermenigvuldigen op volledige paden.
4. Selecteer de paden die voldoen aan de gebeurtenis formulering.
5. Voeg hun waarschijnlijkheden en controleer met een aanvulling waar dat goed uitkomt.

Hoe verandert vervanging een kansboom?

Als elke teller wordt vervangen en de zak wordt geremixt voor de volgende trekking, telt de kleur terug naar 3 rood en 2 blauw. Bij het gebruikelijke onafhankelijke-draw model heeft elke tweede-trap rode tak waarschijnlijkheid 3/5 en elke blauwe tak 2/5, ongeacht de eerste kleur.

De padwaarschijnlijkheden worden RR = 9/25, RB = 6/25, BR = 6/25 en BB = 4/25. De kans op één van elke kleur is 12/25, anders dan 3/5 zonder vervanging. De fysieke procedure van het experiment verandert het model en dus het resultaat.

Vervanging alleen moet vergezeld gaan van de beoogde randomisatieveronderstelling. Het standaardmodel gaat ervan uit dat de volgende selectie onafhankelijk van de gerestaureerde samenstelling wordt gemaakt. Vermeld de procedure duidelijk zodat de boom het werkelijke experiment weerspiegelt in plaats van de mogelijkheid van een tak om een oppervlakkig vergelijkbaar probleem over te dragen.

Hoe kunnen bomen drie of meer stadia hanteren?

Ga verder met vertakken vanuit elke bereikbare knooppunt, het bijwerken van de waarschijnlijkheden volgens zijn geschiedenis. Voor drie onafhankelijke eerlijke munttossen zijn er 2³ = 8 even waarschijnlijke paden. Precies twee hoofden komen voor op HHT, HTH en THH, wat waarschijnlijkheid 3/8 geeft.

Bomen kunnen groot worden naarmate het aantal stadia toeneemt. Herhaalde onafhankelijke proeven met alleen succes en mislukking kunnen vaak efficiënter worden behandeld door een binaire formule, die paden groepeert volgens hun succes aantal. De boom blijft de onderliggende verklaring waarom een pad waarschijnlijkheid wordt vermenigvuldigd met het aantal geschikte regelingen.

Sommige experimenten stoppen in verschillende stadia, afhankelijk van eerdere resultaten. In dat geval alleen paden die volgens de gestelde regel blijven. Een voltooid pad is een compleet resultaat, zelfs als het minder branches heeft dan een ander, en alle terminal-pad waarschijnlijkheden moeten nog steeds op 1 worden opgeteld wanneer het model elk mogelijk einde bestrijkt.

Welke fouten moet u vermijden met kansbomen?

Het achterliggende doel van een boom is om voorwaardelijke informatie te organiseren. Het registreert niet alleen wat er kan gebeuren, maar ook wat er in elk stadium bekend is. Dit maakt het nuttig voor sequentiële selecties, betrouwbaarheidsmodellen en gefaseerde beslissingen wanneer de latere waarschijnlijkheden afhankelijk zijn van eerdere resultaten.

Voeg geen waarschijnlijkheden toe langs een pad of vermenigvuldig afzonderlijke alternatieve paden samen. Vermenigvuldigen om alle opeenvolgende branche-evenementen te vereisen, en voeg disjoint complete paden toe om alternatieven toe te staan. Controleer de uitgaande waarschijnlijkheden som van elke node tot 1, controleer dan de uiteindelijke pad waarschijnlijkheden som tot 1,

Ten slotte, update telt na trekking zonder vervanging en omvat elke bestelling die door het evenement is toegestaan. Het missen van BR bij het berekenen van een rood en een blauw is een veel voorkomende fout. Duidelijke padlabels, voorwaardelijke noemers en een laatste complementcontrole maken het gemakkelijker om meerfasenberekeningen te verifiëren en uit te leggen.