Knij stelling en speciale volgnummers

De squeeze stelling (sandwich stelling) zegt dat als a_n ≤ b_n ≤ c_n voor alle grote n en a_n en c_n beiden de neiging tot L hebben, dan b_n ook L. In het kort: sinds −1/n ≤ sin n / n ≤ 1/n en beide grenzen neigen naar 0, sin n / n → 0. Hetzelfde idee werkt voor functies: van cos x ≤ sin x/x ≤ 1 in de buurt van 0 krijgt men lim sin x / x = 1.

De squeeze stelling behandelt grenzen van uitdrukkingen die te ingewikkeld zijn voor algebra maar kunnen worden begrensd door eenvoudigere. Samen met een korte lijst van speciale grenswaarden (zoals ⁿ√n → 1, qⁿ → 0 en (1 + 1/n)ⁿ → e),, lost het de meeste limietproblemen voor sequenties op. Deze gids geeft de stelling, bewijst het, toont technieken voor het vinden van grenzen, geeft de speciale limieten met rechtvaardigingen en geeft een tabel van numerieke waarden.

Wat is de squeeze stelling?

Als a_n ≤ b_n ≤ c_n voor alle n voorbij een index, en lim a_n = lim c_n = L,, dan lim b_n = L. Met name de stelling bewijst het bestaan van de grens van b_n.

Proefidee: gegeven ε > 0, voor grote n zowel a_n als c_n liggen in (L − ε, L + ε). Aangezien b_n er tussen zit , , L − ε < a_n ≤ b_n ≤ c_n < L + ε,, dus |b_n − L| &lt. Een speciaal geval: als |b_n| ≤ c_n en c_n → 0,, dan b_n → 0.

Hoe vind je de grenzen?

• Gebonden functies: |sin n| ≤ 1, |cos n| ≤ 1, dus |sin n/n| ≤ 1/n.
• Grootste en kleinste term: een som van k termen ligt tussen k maal de kleinste en k keer de grootste term.
• De wortels van de bedragen: ⁿ√(aⁿ + bⁿ) ligt tussen max(a, b) en 2^1/n max(a, b).
• Gehele delen: x − 1 < – Ja, ja. ≤ x.
• Ongelijkheden: n! ≤ nⁿ, 2ⁿ ≥ n,, en Bernoulli’s ongelijkheid (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx voor x ≥ −1.

Wat zijn de speciale grenzen?

• qⁿ → 0 voor |q| < 1. Schrijf |q| = 1/(1 + h) met h > 0; door Bernoulli (1 + h)ⁿ ≥ 1 + nh, dus |q|ⁿ ≤ 1/(1 + nh) → 0.
• ⁿ√a → 1 voor a > 0. Voor a > 1, set ⁿ√a = 1 + h_n; then a = (1 + h_n)ⁿ ≥ 1 + nh_n, so 0 < h_n ≤ (a − 1)/n → 0.
• ⁿ√n → 1. Stel ⁿ√n = 1 + h_n,, zo in n = (1 + h_n)ⁿ ≥ 1 + n(n − 1)h_n²/2 (binomiale stelling), dat geeft h_n² ≤ 2/n,, zo h_n → 0.
• n^kqⁿ → 0 voor |q| < 1 en elke k (exponentiële beats polynomial).
• aⁿ/n! → 0 voor elke a (factoriële beats exponentieel).
• (1 + 1/n)ⁿ → e , en (1 + x/n)ⁿ → e^x.
• ln n/n → 0 en n/2ⁿ → 0.

De hiërarchie van groei voor grote n is: ln n ≪ n^p ≪ aⁿ ≪ n! ≪ nⁿ (voor a > 1, p > 0), waar “≪” betekent dat de verhouding links naar rechts neigt naar 0.

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1: een begrensde oscillatie

(−1)ⁿ/n: −1/n ≤ (−1)ⁿ/n ≤ 1/n,, en beide grenzen hebben een neiging tot 0. Dus de limiet is 0.

Voorbeeld 2: een som van termen

1/√(n² + 1) + 1/√(n² + 2) + … + 1/√(n² + n). Er zijn n termen. De kleinste is 1/√(n² + n) en de grootste is 1/√(n² + 1). Dus n/√(n² + n) ≤ sum ≤ n/√(n² + 1). Beide grenzen hebben de neiging tot 1 (verdeeld naar n: 1/√(1 + 1/n) en 1/√(1 + 1/n²)). Dus de limiet is 1.

Voorbeeld 3: wortel van een som

ⁿ√(2ⁿ + 3ⁿ): 3 = ⁿ√(3ⁿ) ≤ ⁿ√(2ⁿ + 3ⁿ) ≤ ⁿ√(2 · 3ⁿ) = 3 · 2^1/n → 3. Dus de limiet is 3. Meer in het algemeen, , ⁿ√(a₁ⁿ + … + a_kⁿ) → max(a_i).

Voorbeeld 4: factorieel over vermogen

0 ≤ n!/nⁿ = (1/n)(2/n)⋯(n/n) ≤ (1/n) · 1 ⋯ 1 = 1/n → 0. Dus n!/nⁿ → 0.

Voorbeeld 5: met het gehele gedeelte

Nx/n voor vaste x: nx − 1 < Nx ≤ nx, dus x − 1/n < Nx/n ≤ x. Beide grenzen hebben de neiging om x, dus de limiet is x.

Voorbeeld 6: een product

(1 − 1/2²)(1 − 1/3²)⋯(1 − 1/n²) = (n + 1)/(2n) → 1/2 (het product telescopen), consistent met de grenzen 0 < product ≤ 1 maar die het exacte formulier nodig hebben.

Voorbeeld 7: de functieversie

Voor 0 < x < π/2: cos x < sin x/x < 1 (vergelijk de gebieden van een driehoek, een cirkelvormige sector en een grotere driehoek). As x → 0, cos x → 1, dus sin x/x → 1. En x sin(1/x) → 0 als x → 0, sinds |x sin(1/x)| ≤ |x|.

Numerieke waarden van speciale reeksen

Waar komt de stelling vandaan?

Het idee om een hoeveelheid tussen twee andere te knijpen werd door Archimedes gebruikt om π te berekenen: de grenzen van de ingegraveerde en omlijnde veelhoeken binden de omtrek van de cirkel, en naarmate het aantal zijden groeit, komen beide grenzen op dezelfde waarde. De stelling in zijn moderne vorm wordt toegeschreven aan Carl Friedrich Gauss en verschijnt in strenge analysebehandelingen uit de negentiende eeuw. In verschillende landen wordt het de sandwich stelling of de stelling van twee politieagenten genoemd.

Waar wordt het gebruikt?

De squeeze stelling wordt gebruikt om standaardlimieten (sin x/x, de grenzen van wortels) te bewijzen, om de afgeleide van trigonometrische functies te rechtvaardigen en om de convergentie van sequenties te tonen die door ongelijkheid worden gedefinieerd. In de waarschijnlijkheid, wordt het gebruikt voor ongelijkheden zoals Chebyshev’s, en in numerieke analyse voor foutgrenzen: als de fout is ten hoogste 1/n²,, dan heeft het de neiging tot 0.

Welke fouten zijn er vaak?

Grenzen met verschillende limieten

Beide grenzen moeten dezelfde L hebben. Als −1 ≤ (−1)ⁿ ≤ 1, dan komen de grenzen niet overeen, zodat de stelling geen limiet geeft.

Grenzen die niet voor alle grote n houden

De ongelijkheid moet voor iedereen boven een bepaalde index blijven. Controleer kleine gevallen apart.

Te grof gegrifte grenzen gebruiken

Als de bovengrens een grotere waarde heeft dan de ondergrens, verfijn dan de grenzen. Bijvoorbeeld , 1/n ≤ som ≤ n · (1/n) geeft geen limiet.

De absolute waarde vergeten

Om b_n → 0,, gebonden |b_n| te laten zien door een reeks die neigt naar 0, als voor sin n/n.