Omwentelingslichamen: cilinders, kegels en bollen

Een cirkel geeft een bol. In het kort: met straal r en hoogte h, een cilinder heeft volume πr²h, a kegel heeft volume (1/3)πr²h en een bol heeft volume (4/3)πr³. De oppervlakte is 2πr(r + h) voor een gesloten cilinder, πr(r + s) voor een kegel met schuine hoogte s en 4πr² voor een bol.

Deze gebogen vaste stoffen model blikken, trechters, ballen, tanks en planeten. Hun formules bevatten π en zijn verwant: een kegel en een halve bol samen vullen een cilinder wanneer de hoogte gelijk is aan de straal, zoals opgemerkt door Archimedes. Deze gids beschrijft de drie vaste stoffen, hun formules, werkte voorbeelden, de relatie tussen hen en het idee van het draaien van een figuur, met een tabel van formules.

Wat zijn de formules voor een cilinder?

Een rechte cirkelcilinder heeft twee parallelle ronde basen van radius r en een hoogte h. Het zijoppervlak is uitgerold en is een rechthoek met zijden 2πr (de omtrek) en h.

• Volume V = πr²h (basisoppervlak maal hoogte)
• Lateraal gebied L = 2πrh
• Totale oppervlakte S = 2πr² + 2π rh = 2πr(r + h)

Wat zijn de formules voor een kegel?

Een rechter ronde kegel heeft een cirkelvormige basis van straal r, een hoogte h (van het topstuk loodrecht op de basis) en een schuine hoogte s = √(r² + h²). Het zijoppervlak is uitgerold en is een sector van een cirkel met straal s en booglengte 2πr.

• Deel V = (1/3)πr²h
• Lateraal gebied L = πrs
• Totale oppervlakte S = πr² + π rs = πr(r + s)

De centrale hoek van de niet-gewalst sector is θ = 2πr/s in radialen. Voor r = 3 en s = 5 is het 6π/5 = 216°.

Wat zijn de formules voor een bol?

Een bol van straal r is de verzameling punten op afstand r van het centrum.

• Deel V = (4/3)πr³
• Oppervlakte S = 4πr²,, dat is vier keer het gebied van een grote cirkel.
• Hemisfere: V = (2/3)πr³,, gebogen oppervlak 2πr²,, totale oppervlakte 3πr².

Als de straal verdubbelt, wordt het oppervlak vermenigvuldigd met 4 en het volume met 8.

Hoe zijn de drie vaste stoffen gerelateerd?

Neem een bol met straal r, een cilinder met radius r en hoogte 2r die gewoon bevat het en een kegel met radius r en hoogte 2r. De volumes zijn (4/3)πr³, 2πr³ en (2/3)πr³. De verhouding kegel: bol: cilinder is 1 : 2 : 3. Ook het oppervlak van de bol, , 4πr²,, is gelijk aan het zijoppervlak van de omsluitcilinder, 2πr · 2r = 4πr². Archimedes was trots op deze ontdekking en zou de figuur van de bol in een cilinder op zijn graf hebben gewenst.

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1: a kan

Een blik heeft een straal van 4 cm en een hoogte van 12 cm. V = π · 16 · 12 = 192π ≈ 603.2 cm³ (ongeveer 0.6 liter). Zijdelingse oppervlakte: 2π · 4 · 12 = 96π ≈ 301.6 cm². Totale oppervlakte: 96π + 32π = 128π ≈ 402.1 cm².

Voorbeeld 2: een kegel

Een kegel heeft een straal van 6 en 8 hoogte. De schuine hoogte is s = 10. V = (1/3)π · 36 · 8 = 96π ≈ 301.6. L = π · 6 · 10 = 60π ≈ 188.5. S = 60π + 36π = 96π ≈ 301.6. De numerieke waarden van V en S vallen samen, maar ze hebben verschillende eenheden.

Voorbeeld 3: een bol

Een bal heeft een diameter van 22 cm, dus r = 11. V = (4/3)π · 1331 ≈ 5,575.3 cm³ en S = 4π · 121 ≈ 1,520.5 cm².

Voorbeeld 4: het vinden van de straal uit het volume

Een bol heeft volume 36π. Daarna (4/3)r³ = 36,, dus r³ = 27 en r = 3. Het oppervlak is 4π · 9 = 36π. (Weer de numerieke waarden samenvallen.)

Voorbeeld 5: smelten

Een metalen bol met een straal van 6 cm wordt gesmolten tot kleine bollen met een straal van 1 cm. Het aantal kleine bollen is (6/1)³ = 216,, aangezien volumeschalen met de kubus van de straal. De totale oppervlakte van de kleine bollen is 216 · 4π = 864π, dat is 6 keer de oorspronkelijke 144π.

Voorbeeld 6: een cilinder met een bepaald volume en een minimaal oppervlak

Voor een gesloten blik met volume 500 cm³,, is het oppervlak S = 2πr² + 1000/r het kleinst als r = ∛(250/π) ≈ 4.30 cm, waar h = 2r ≈ 8.60 cm. Een blik met een hoogte gelijk aan de diameter gebruikt het minste materiaal. Dit is gevonden met calculus.

Formuletabel

Waar komen deze resultaten vandaan?

Archimedes, in de derde eeuw BCE, bewees de formules voor het volume en de oppervlakte van de bol in zijn werk On the Bol en Cilinder, met behulp van de methode van uitputting. Eudoxus had eerder het volume van de kegel als een derde van de cilinder bewezen. Integraal calculus gaf later een uniforme methode: het volume van een vaste revolutie is V = π ∫ f(x)² dx.

Waar worden ze vandaag gebruikt?

Cilinders zijn tanks, leidingen en blikken. Een watertank met straal 1.5 m en hoogte 3 m bevat π · 2.25 · 3 ≈ 21.2 m³,, of 21,200 liter. Kegels verschijnen als trechters, verkeerskegels en silo’s, en bollen als ballen, bubbels en planeten. De aarde heeft een straal van ongeveer 6,371 km, dus het oppervlak is ongeveer 4π · 6371² ≈ 510 miljoen km².

Welke fouten zijn er vaak?

Gebruik van de diameter in plaats van de straal

Alle formules gebruiken de radius. Halveer eerst de diameter.

De hoogte gebruiken in plaats van de schuine hoogte

Het zijvlak van een kegel is π rs, met s = √(r² + h²),, niet π rh.

Vergeet de factor 1/3 voor een kegel

Een kegel heeft een derde van het volume van de cilinder met dezelfde basis en hoogte.

Mengvolume en oppervlakte-eenheden

Volume is in kubieke eenheden en oppervlakte is in vierkante eenheden. Vergelijk alleen hoeveelheden van dezelfde soort.