Quadrilaterales Overzicht en Relaties

Een vierhoek is een veelhoek met vier zijden, en de speciale types (trapezoïde, parallelogram, rechthoek, ruit, vierkant en kite) zijn gerelateerd door inclusie: elk vierkant is een rechthoek, elke rechthoek is een parallelogram, enzovoort. Kortom: de binnenhoeken van elke vierhoek tellen op tot 360°. Een parallelogram heeft twee paren parallelle zijden, een rechthoek is een parallelogram met vier rechte hoeken, een ruit is een parallelogram met vier gelijke zijden en een vierkant is zowel een rechthoek als een ruit.

Veel vormen in het dagelijks leven zijn quadrilateralen, en hun namen zijn gemakkelijk te verwarren. De sleutel tot orde is de stamboom van definities: elke speciale vierhoek heeft alle eigenschappen van de bovenliggende types. Deze gids legt de algemene vierhoek uit, de hoeksom, de stamboom, hoe je een vierhoek van zijn eigenschappen kunt identificeren en hoe diagonalen helpen, met een tabel die de eigenschappen vergelijkt.

Wat is een vierhoek?

Een vierhoek heeft vier hoekpunten, vier zijden en twee diagonalen. Het is bol als beide diagonalen erin liggen, en concave als één hoek naar binnen wijst. De som van de binnenhoeken van elke eenvoudige vierhoek is 360°: een diagonaal splitst het in twee driehoeken, elk met een hoeksom van 180°. De omtrek is de som van de vier zijden. In een vierhoek met drie hoeken van 80°, 95° en 110°, is de vierde 360° − 285° = 75°.

Een vierhoek wordt bepaald door meer gegevens dan een driehoek: vier zijden bevestigen zijn vorm niet, omdat een flexibel frame van vier staven zijn hoeken kan veranderen. Een diagonaal maakt het stijf door het in twee driehoeken te splitsen.

Hoe zijn de speciale quadrilaterales gerelateerd?

• Trapezoïde (trapezium): ten minste één paar parallelle zijden.
• Parallelogram: twee paren parallelle zijden. Het is een trapezium in de inclusieve definitie.
• Rechthoek: een parallelogram met vier rechte hoeken.
• Rhombus: een parallelogram met vier gelijke zijden.
• Vierkant: een rechthoek die ook een ruit is.
• Kite: twee paar aangrenzende gelijke zijden. Een ruit is een vlieger, en dat is ook een vierkant.

De stamboom: quadrilaterale ⊃ trapezoïde ⊃ parallelogram ⊃ {rectangle, rhombus} ⊃ vierkant. De vlieger is een andere tak: quadrilaterale ⊃ kite ⊃ rhombus ⊃ vierkant. Sommige leerboeken definiëren een trapezoïde als het hebben van precies één paar parallelle zijden, die parallelogrammen van trapezoïden uitsluit. Beide conventies bestaan, dus controleer welke cursus je gebruikt.

Hoe herken je een quadrilateraal?

1. Controleer op parallelle zijden: geen (algemeen of kite), één paar (trapezoïde) of twee paar (parallel-familie).
2. Voor de parallellogramfamilie controleren de zijkanten en hoeken: alle zijden gelijk maakt een ruit, alle hoeken rechts maakt een rechthoek, beide maken een vierkant.
3. Controleer of er naast elkaar gelijke kanten zijn om een vlieger te vinden.
4. Gebruik de meest specifieke naam die past.

Voorbeeld 1: coördinaten

A(0, 0), B(4, 0), C(6, 3), D(2, 3). Helling: AB = 0, BC = 3/2, CD = 0, DA = 3/2. Twee paren parallelle zijden, dus een parallellogram. Zijkanten: AB = 4, BC = √13, CD = 4, DA = √13. Ongeëvenaarde aangrenzende kanten, dus geen ruit. Geen rechthoek, omdat de zijden niet loodrecht staan (hellingen 0 en 3/2).

Voorbeeld 2: vanuit hoeken

Een vierhoek met hoeken 60°, 120°, 60°, 120° in deze volgorde heeft tegengestelde hoeken gelijk en opeenvolgende hoeken tellend tot 180°, zodat de zijden parallel zijn en het is een parallellogram.

Eigenschappen van quadrilateralen vergeleken

Wat zeggen de diagonalen je?

De diagonalen onthullen het type van een vierhoek. Als de diagonalen elkaar doorsnijden, is het een parallellogram. Als ze ook gelijk zijn, is het een rechthoek, en als ze ook loodrecht staan, is het een ruit (bijtende diagonalen die loodrecht staan). Gelijk, loodrecht en bisecteren diagonalen geven een vierkant. In een vlieger is de ene diagonale diagonaal de loodrechte bisector van de andere.

Voorbeeld 3

Vertices A(0, 0), B(3, 1), C(4, 4), D(1, 3). Het middelpunt van AC is (2, 2) en van BD is (2, 2). De diagonalen snijden elkaar, dus ABCD is een parallellogram. De helling van AC is 1, en de helling van BD, van (3, 1) naar (1, 3), is (3 − 1)/(1 − 3) = −1. Het product 1 · (−1) = −1, dus de diagonalen staan loodrecht. De zijkanten AB = √10 en BC = √10, dus het is een ruit. De diagonalen AC = √32 en BD = √8 zijn ongelijk, dus het is geen vierkant.

Waar komen de namen vandaan?

Het woord quadrilaterale komt van Latijnse vierhoek (vier) en latus (zij). Rhombus komt uit een Grieks woord voor een spinnetop, en trapezoïde komt van het Griekse woord voor een tafel. Euclides classified quadrilatles in plein, langwerpige, rhombus, rhomboid en trapezia in Boek I van de Elementen . De namen parallelogram en vlieger voor de vormen die we vandaag kennen ontwikkeld later, en de betekenis van “trapezium” verschilt tussen Brits en Amerikaans Engels.

Waar worden quadrilaterales gebruikt vandaag?

Rechthoeken zijn overal: schermen, boeken en kamers. Parallellograms verschijnen in mechanismen zoals schaarliften en de koppelingen van vouwtafels, omdat tegenoverliggende zijden parallel blijven als de hoek verandert. Kites worden gebruikt als vliegers en in design, en trapezoïden verschijnen in bruggen, daken en het kruis-deel van kanalen.

Welke fouten zijn er vaak?

Behandeling van de categorieën als afzonderlijk

Een vierkant is ook een rechthoek en een ruit. Gebruik de meest specifieke naam, maar onthoud de inclusie.

Ervan uitgaande dat gelijke kanten een ruit impliceren zonder alle vier te controleren

Een vlieger kan twee paar gelijke zijden hebben zonder een ruit te zijn. In een ruit zijn alle vier zijden gelijk.

Vergeet de conventie voor trapezoïden

Of een parallelogram als trapezium meet, hangt af van de definitie in gebruik.

Aangenomen dat gelijke diagonalen een rechthoek impliceren

Een isosceles trapezoïde heeft ook gelijke diagonalen. Een rechthoek heeft diagonalen nodig die gelijk zijn en elkaar doorsnijden.