Negatieve en breukexponenten

Negatieve en fractionele exponenten reiken machten uit die verder reiken dan herhaalde vermenigvuldiging: een negatieve exponent betekent een wederkerige, en een fractionele exponent betekent een wortel. In het kort: a⁻ⁿ = 1/aⁿ en a^m/n = (ⁿ√a)^m. Bijvoorbeeld, , 2⁻³ = 1/8 en 8^2/3 = (∛8)² = 4.

Deze definities worden zo gekozen dat de exponentenwetten blijven werken voor elke rationele exponent. Als je ze eenmaal kent, kun je wortels herschrijven als machten, ingewikkelde expressies vereenvoudigen en formules hanteren in de wetenschap die exponenten zoals −2 of 1/2 bevatten. Deze gids legt beide ideeën uit, laat zien hoe ze berekend moeten worden en geeft een referentietabel.

Wat betekent een negatieve exponent?

Voor elk niet-nulgetal a en positief integer n, a⁻ⁿ = 1/aⁿ . Het negatieve teken in de exponent maakt het resultaat niet negatief. Het verplaatst de kracht naar de andere kant van de breukbalk.

De definitie wordt gedwongen door de quotiëntregel. Sinds 2³ ÷ 2⁵ = 2³⁻⁵ = 2⁻²,, en ook 8/32 = 1/4 = 1/2²,, hebben we 2⁻² = 1/4 nodig. Hetzelfde patroon geeft 10⁻¹ = 0.1 en 10⁻² = 0.01.

Voor fracties, draai de fractie: (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4. De basis 0 heeft geen negatieve machten, omdat dat verdeling door nul zou vereisen.

Wat betekent een fractionele exponent?

Een fractionele exponent combineert een kracht en een wortel. De noemer geeft de wortel en de teller geeft het vermogen: a^m/n = (ⁿ√a)^m = ⁿ√(a^m) . Het speciale geval a^1/2 = √a is de vierkantswortel, en a^1/3 is de kubuswortel.

De wet (a^1/2)² = a¹ laat zien waarom: squaring a^1/2 moet een geven, dus a^1/2 is het getal waarvan het vierkant a is. Bijvoorbeeld, , 25^1/2 = 5,, en 27^1/3 = 3.

Voor zelfs wortels mag de basis niet negatief zijn als het resultaat een echt getal moet zijn. Bijvoorbeeld, , (−4)^1/2 is geen echt getal.

Hoe beoordeel je negatieve en fractionele exponenten stap voor stap?

1. Als de exponent negatief is, neem dan het wederkerige van de basis en maak de exponent positief.
2. Als de exponent een breuk is, neem dan eerst de wortel die door de noemer gegeven wordt, want dat houdt getallen klein.
3. Breng dan de kracht aan die door de teller wordt gegeven.

Voorbeeld 1: 4⁻²

4⁻² = 1/4² = 1/16.

Voorbeeld 2: 16^3/4

De vierde wortel van 16 is 2, aangezien 2⁴ = 16. Dan 2³ = 8. Dus 16^3/4 = 8.

Voorbeeld 3: 27^−2/3

Gebruik eerst de wederkerige: 27^−2/3 = 1/27^2/3. De kubuswortel van 27 is 3 en 3² = 9,, dus het resultaat is 1/9.

Voorbeeld 4: vereenvoudigen (x⁻²y³)⁻¹

Vermenigvuldig elke exponent met −1: x²y⁻³ = x²/y³.

Negatieve tabel voor 2 en 10

Zijn de exponentenwetten nog steeds van toepassing?

Ja. Dat is de reden voor de definities. De gebruikelijke exponent wetten gelden voor alle rationele exponenten als de basis positief is. Bijvoorbeeld, , 9^1/2 · 9^3/2 = 9² = 81,, en (8⁻¹)^1/3 = 8^−1/3 = 1/2.

Met negatieve bases en fractionele exponenten is zorg nodig. Bijvoorbeeld, , ((−8)²)^1/6 en (−8)^1/3 hoeven niet overeen te komen, dus basisalgebra veronderstelt gewoonlijk positieve basen voor fractionele exponenten tenzij de wortel vreemd is en duidelijk gedefinieerd.

Waar komen die exponenten vandaan?

Negatieve en fractionele exponenten werden ontwikkeld in de late middeleeuwen en de vroege moderne periode, met Nicole Oresme rekening houdend met fractionele machten in de veertiende eeuw. De moderne notatie wordt meestal toegeschreven aan Isaac Newton, die er in de zeventiende eeuw over schreef in verband met oneindige series. Daarvoor werden wortels en wederkerigen geschreven met aparte symbolen en woorden.

Waar worden ze vandaag gebruikt?

Veel formules omvatten ze. In de natuurkunde zegt een inverse-kwadraat wet zoals helderheid ∝ d⁻² dat het verdubbelen van de afstand de helderheid vermindert tot 1/4. Keplers derde wet verbindt een periode T met de baangrootte door T ∝ a^3/2. In de chemie en geneeskunde zijn kleine hoeveelheden zoals 10⁻⁶ g standaard, en in de financiën kan een jaarlijks tarief worden omgezet in een maandelijks één door het nemen van een macht van 1/12.

Welke fouten zijn er vaak?

Het resultaat negatief maken

2⁻³ is 1/8, niet −8. Een negatieve exponent verandert van positie, niet tekenen.

Het verkeerde deel omdraaien

In 3x⁻² wordt alleen x verhoogd tot −2, dus het resultaat is 3/x²,, niet 1/(3x²).

Mengen van teller en noemer

In a^m/n is de noemer de root. Dus 8^2/3 is de kubuswortel kwadraat, niet de wortelblok.

Spreidingen op de verkeerde manier toevoegen

x^1/2 · x^1/3 = x^5/6,, niet x^2/5. Voeg de exponenten toe met een gemeenschappelijke noemer.