Hyperbolische en trigonometrische functies in het Complex Domain

In het complexe domein worden sinus en cosinus gedefinieerd door exponentieel, , sin z = (e^iz − e^−iz)/(2i) en cos z = (e^iz + e^−iz)/2,, en ze zijn gerelateerd aan de hyperbolische functies door cos(iz) = cosh z en sin(iz) = i singh z. In het kort: sin en cos behouden al hun identiteiten, zoals sin²z + cos²z = 1,, maar ze zijn niet langer begrensd: cos(2i) = cosh 2 ≈ 3.762. Voor z = x + iy, sin z = sin x cosh y + i cos x singh y.

Euler’s formule verbindt exponentieel met trigonometrie, en deze verbinding is de reden waarom de hyperbolische functies verschijnen als de “trigonometrische functies van een denkbeeldige hoek.” De uitbreiding van sinus en cosinus tot complexe argumenten lost vergelijkingen op zoals cos z = 2 en verklaart de formules voor hyperbolische functies. Deze gids definieert de functies, ontleent de relaties en toevoeging formules, behandelt de echte en denkbeeldige delen, lost vergelijkingen op en geeft een tabel van waarden van sinh en cosh.

Hoe worden de functies gedefinieerd?

Uit de formule van Euler, , e^iz = cos z + i sin z voor elk complex z. Het toevoegen en aftrekken van e^iz en e^−iz geeft

• cos z = (e^iz + e^−iz)/2,
• sin z = (e^iz − e^−iz)/(2i).

De hyperbolische functies zijn

• cosh z = (e^z + e^−z)/2,
• singh z = (e^z − e^−z)/2,,
• tanh z = sinh z/cosh z, en evenzo tan z = sin z/cos z.

Voor echte x is cosh x ≥ 1 de vorm van een hangketting (de catenary), en singh x is een vreemde functie die groeit zoals e^x/2. De identiteit kosh²z − singh²z = 1 toont aan dat (cosh t, singh t) op de hyperbola x² − y² = 1,, net zoals (cos t, sin t) op de cirkel ligt.

Hoe zijn trigonometrische en hyperbolische functies gerelateerd?

In de definities wordt het volgende vermeld:

• cos(iz) = cosh z en cosh(iz) = cos z,
• sin(iz) = i singh z en sinh(iz) = i sin z,
• tan(iz) = i tanh z.

Bewijs van cos(iz) = cosh z: cos(iz) = (e^i·iz + e^−i·iz)/2 = (e^−z + e^z)/2 = cosh z ✓.

De identiteiten van trigonometrie houden voor complexe argumenten vast, omdat ze volgen uit de exponentiële wet: sin²z + cos²z = 1, sin(z + w) = sin z cos w + cos z sin w, cos(z + w) = cos z cos w − sin z sin w. De vervanging van z door iz in sin²z + cos²z = 1 geeft −sinh²z + cosh²z = 1. Op deze manier volgen de formules voor hyperbolische functies van trigonometrische formules door “Osborn’s rule”: vervang elk product van twee zondigen door minus het product van twee sinh. Beide paren zijn periodiek in het complexe domein: sin en cos hebben de werkelijke periode 2π, en singh en cosh hebben de denkbeeldige periode 2πi.

Wat zijn de echte en denkbeeldige delen van sin z en cos z?

Voor z = x + iy:

• sin(x + iy) = sin x cosh y + i cos x singh y,
• cos(x + iy) = cos x cosh y − i sin x singh y,
• |sin z|² = sin²x + singh²y en |cos z|² = cos²x + singh²y.

Deze komen uit de toevoeging formule met sin(iy) = i singh y en cos(iy) = cosh y. Aangezien sinh y zonder gebonden groeit, zijn sin z en cos z ongebonden in het complexe vlak, hoewel begrensd door 1 op de echte as. De enige nullen van sin z zijn de echte nummers kπ, want |sin z|² = 0 vereist sin x = 0 en singh y = 0, dus y = 0.

Voorbeeld 1

sin(i) = i singh 1 = i · 1.1752 = 1.1752i. En cos(2i) = cosh 2 = 3.7622. De omvang |sin(i)| ≈ 1.175 > 1.

Voorbeeld 2

sin(1 + i) = sin 1 cosh 1 + i cos 1 singh 1 = 0.8415 · 1.5431 + i · 0.5403 · 1.1752 = 1.2985 + 0.6350i. Controleer de modulair: |sin(1 + i)|² = sin²1 + sinh²1 = 0.7081 + 1.3811 = 2.0892, en 1.2985² + 0.6350² = 1.6861 + 0.4032 = 2.0893 ✓.

Voorbeeld 3

cos(π + i) = cos π cosh 1 − i sin π sinh 1 = −1.5431 (real, sinds sin π = 0).

Hoe los je vergelijkingen op?

Om sin z = w of cos z = w, op te lossen, schrijf de vergelijking in termen van u = e^iz en los een kwadratische vergelijking op, neem dan het logaritme.

Voorbeeld 4: cos z = 2

(u + 1/u)/2 = 2, dus u² − 4u + 1 = 0,, wat u = 2 ± √3 geeft. Dan e^iz = 2 ± √3,, dus iz = ln(2 ± √3) + 2kπi, en z = 2kπ − i ln(2 ± √3). Aangezien ln(2 − √3) = −ln(2 + √3), de oplossingen z = 2kπ ± i ln(2 + √3) ≈ 2kπ ± 1.3170i zijn. Controleer met k = 0: cos(1.317i) = cosh 1.317 = 2.000 ✓.

Voorbeeld 5: sin z = 2

(u − 1/u)/(2i) = 2, dus u² − 4 iu − 1 = 0, geven u = 2i ± √(−4 + 1) = i(2 ± √3). Dan iz = ln(2 ± √3) + iπ/2 + 2kπi, dus z = π/2 + 2kπ − i ln(2 ± √3), dat is , z = π/2 + 2kπ ± i ln(2 + √3). Controleer op k = 0: sin(π/2 + 1.317i) = cos(1.317i) = cosh 1.317 = 2 ✓.

Voorbeeld 6: de hyperbolische vergelijking sinh z = 0

(e^z − e^−z)/2 = 0 geeft e^2z = 1,, dus 2z = 2kπi en z = kπi. De nullen van sinh staan op de denkbeeldige as, consistent met sinh(iz) = i sin z.

Voorbeeld 7: een seriecontrole

De krachtserie sin z = z − z³/3! + z⁵/5! − … komt voor elke complexe z samen. Voor z = i: i − i³/6 + i⁵/120 − … = i(1 + 1/6 + 1/120 + … ) = i singh 1 ✓.

Tabel van hyperbolische waarden

Waar komen deze functies vandaan?

Hyperbolische functies werden geïntroduceerd door Vincenzo Riccati in de 1760s en ontwikkeld door Johann Heinrich Lambert, die ook hun relatie met circulaire functies bestudeerde. De link met complexe getallen, door Euler’s formule, was duidelijk naar Euler. De uitbreiding van trigonometrische functies tot complexe argumenten behoort tot het werk van Euler en Cauchy en leidt tot de algemene theorie van analytische functies.

Waar worden ze vandaag gebruikt?

De cabine, de vorm van een hangketting of kabel, is y = a cosh(x/a). De poortboog in St. Louis benadert een omgekeerde catenary. In relativiteit is snelheid een hyperbolische hoek: snelheden toevoegen door de hyperbolische raak toevoegformule. In engineering omvatten oplossingen van de golf- en warmtevergelijkingen sin, cos, sinh en cosh, en de transmissielijnvergelijkingen maken gebruik van complexe hyperbolische functies.

Welke fouten zijn er vaak?

Aangenomen |sin z| ≤ 1

Dit geldt alleen voor echte z. In het complexe vlak zijn sin z en cos z ongebonden.

Wijzigingen in tekenmenu’s mengen

sin(iz) = i singh z, met een factor i. cos(iz) = cosh z, zonder factor.

Vergeet de multi-gewaardeerde oplossingen

cos z = 2 heeft oneindig veel oplossingen z = 2kπ ± 1.317i.

De echte identiteiten gebruiken met een tekenfout

cosh²z − singh²z = 1 heeft een minteken, in tegenstelling tot sin²z + cos²z = 1.