Vergelijkingen Op te stellen naar kwadratische vergelijkingen

Veel vergelijkingen die niet quadratisch zijn op het eerste gezicht kunnen worden omgezet in kwadratische vergelijkingen door een substitutie of door het zuiveren van fracties of wortels. In het kort: de vergelijking x⁴ − 5x² + 4 = 0 wordt u² − 5u + 4 = 0 met u = x²,, dus u = 1 of 4 en x = ±1 of ±2. Vergelijkingen met breuken en wortels moeten gecontroleerd worden op externe oplossingen.

Het herkennen van een verborgen kwadratische vorm bespaart veel werk. De belangrijkste types zijn biquadratische vergelijkingen, vergelijkingen met een expressie herhaald in twee machten, vergelijkingen met breuken, vergelijkingen met radicalen en exponentiële vergelijkingen. Deze handleiding legt elk type uit met een werkvoorbeeld en een tabel van substituties.

Hoe los je biquadratische vergelijkingen op?

Een biquadratische vergelijking heeft de vorm ax⁴ + bx² + c = 0. Let u = x² with u ≥ 0. Daarna au² + bu + c = 0. Los op voor u, gooi negatieve waarden weg en los dan x² = u voor elke resterende u.

Voorbeeld 1: x⁴ − 5x² + 4 = 0

Met u = x²: u² − 5u + 4 = 0,, dus (u − 1)(u − 4) = 0 en u = 1 of 4. Dan geeft x² = 1 x = ±1 en x² = 4 x = ±2. Vier oplossingen: −2, −1, 1, 2.

Voorbeeld 2: x⁴ + 3x² − 10 = 0

u² + 3u − 10 = 0 geeft (u + 5)(u − 2) = 0, dus u = −5 of u = 2. De waarde u = −5 wordt afgewezen omdat x² niet negatief kan zijn (in de reële getallen). Van u = 2: x = ±√2.

Hoe gebruik je andere substituties?

Hetzelfde idee werkt wanneer een uitdrukking en het vierkant verschijnen. In (x² − 3x)² − 2(x² − 3x) − 8 = 0,, let u = x² − 3x. Daarna u² − 2u − 8 = 0,, dus (u − 4)(u + 2) = 0 en u = 4 of u = −2. Achteruit-substituut: x² − 3x − 4 = 0 geeft x = 4 of −1, en x² − 3x + 2 = 0 geeft x = 1 of 2. De vier oplossingen zijn −1, 1, 2 en 4.

Voorbeeld 3: bevoegdheden x en √x

x − 5√x + 6 = 0. Let u = √x ≥ 0. Daarna u² − 5u + 6 = 0,, dus u = 2 of 3, en x = 4 of 9. Check: 4 − 10 + 6 = 0 ✓ en 9 − 15 + 6 = 0 ✓.

Voorbeeld 4: wederkerigen

x + 1/x = 5/2. Vermenigvuldig met 2x: 2x² + 2 = 5x,, dus 2x² − 5x + 2 = 0 en (2x − 1)(x − 2) = 0. De oplossingen zijn x = 1/2 en x = 2 (beide nonzero).

Hoe los je vergelijkingen op met breuken?

1. Vermeld de waarden die door de noemers zijn uitgesloten.
2. Vermenigvuldigen met de gemeenschappelijke noemer.
3. Los de resulterende polynomiale vergelijking op.
4. Uitgesloten waarden weigeren.

Voorbeeld 5: 2/(x − 1) + 3/(x + 2) = 1

Uitgesloten: x ≠ 1, −2. Vermenigvuldigen met (x − 1)(x + 2): 2(x + 2) + 3(x − 1) = (x − 1)(x + 2). Dus 5x + 1 = x² + x − 2, geven x² − 4x − 3 = 0. Vervolgens x = 2 ± √7. Beide zijn toegestaan. cesium 4.65 en −0.65. Controleer x ≈ 4.65: 2/3.65 + 3/6.65 ≈ 0.548 + 0.451 = 0.999 ✓.

Hoe los je vergelijkingen op met vierkante wortels?

Isoleer de wortel en vierkant beide zijden, controleer dan, omdat squaring oplossingen kan toevoegen.

Voorbeeld 6: √(x + 6) = x

Vierkant: x + 6 = x²,, dus x² − x − 6 = 0,, en (x − 3)(x + 2) = 0. Controleer x = 3: √9 = 3 ✓. Check x = −2: √4 = 2 ≠ −2. Dus x = −2 is buitenechtelijk, en de enige oplossing is x = 3.

Hoe los je exponentiële vergelijkingen van kwadratisch type op?

Laat u = 2^x in 4^x − 6 · 2^x + 8 = 0. Sinds 4^x = (2^x)²,, krijgen we u² − 6u + 8 = 0,, dus u = 2 of 4. Dan geeft 2^x = 2 x = 1 en 2^x = 4 x = 2. Omdat 2^x altijd positief is, moet elke negatieve u worden afgewezen.

Tabel van substituties

Waar komt de techniek vandaan?

Substitutie om de mate van een vergelijking te verminderen verschijnt in Arabische algebra en in Europese teksten van de Renaissance. Tweequadratische vergelijkingen waren bekend bij Cardano en zijn tijdgenoten in verband met quarterische vergelijkingen. Het systematische gebruik van een nieuwe variabele zoals u maakt deel uit van de symbolische notatie die vanaf de zestiende eeuw is ontstaan.

Waar wordt het vandaag gebruikt?

Quartische vergelijkingen van biquadratisch type verschijnen in trillingsproblemen en in bundelbuiging, waar het onbekende een kwadraatfrequentie is. Vergelijkingen met √x ontstaan in de natuurkunde wanneer de snelheid afhankelijk is van de wortel van een hoeveelheid. Exponentiële vergelijkingen van het kwadratische type komen voor in de chemie en in financiën wanneer twee groeitermen interageren.

Welke fouten zijn er vaak?

Stoppen bij u

Na het vinden van u, keer terug naar x. Het antwoord op het oorspronkelijke probleem is x, niet u.

Onmogelijke waarden van u behouden

Als u = x² of u = 2^x,, dan moet u positief (of niet negatief) zijn. Andere waarden weigeren.

Vergeten te controleren

Met breuken en wortels, test elke oplossing in de oorspronkelijke vergelijking.

Oplossingen voor het verliezen van gegevens

Elke positieve u = x² geeft twee waarden van x, ±√u.