Vergelijking van een cirkel

De vergelijking van een cirkel met het centrum (a, b) en de straal r is (x − a)² + (y − b)² = r²; uitdijen geeft de algemene vorm x² + y² + Dx + Ey + F = 0,, waaruit het midden en de straal worden hersteld door het invullen van het vierkant. In het kort: de cirkel met centrum (3, −2) en straal 5 is (x − 3)² + (y + 2)² = 25,, en de vergelijking x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 beschrijft precies deze cirkel.

Een cirkel is de verzameling punten op een vaste afstand r van een centrum, dus de vergelijking is de afstand formule in vermomming. Deze gids omvat de standaard en algemene vormen, het voltooien van het vierkant, een cirkel door drie punten, raaklijnen, snijpunten met lijnen en de positie van een punt ten opzichte van een cirkel, met bewerkte voorbeelden en een tabel.

Wat is de standaardvergelijking van een cirkel?

Een punt (x, y) ligt op de cirkel met centrum C = (a, b) en straal r precies wanneer de afstand tot C gelijk is aan r. Door de afstand formule, , √((x − a)² + (y − b)²) = r,, en squaring geeft (x − a)² + (y − b)² = r². Voor het centrum bij de oorsprong: x² + y² = r².

Een punt P zit in de cirkel wanneer (x − a)² + (y − b)² < r²,, erop als het gelijk is, en buiten wanneer het groter is.

Voorbeeld 1: het schrijven van de vergelijking

Midden (−1, 4), straal 3: (x + 1)² + (y − 4)² = 9.

Voorbeeld 2: een cirkel met een diameter

De diameter heeft de uiteinden A(1, 2) en B(7, 10). Het midden is het middelpunt (4, 6) en de straal is half |AB| = 10, dus r = 5. De vergelijking: (x − 4)² + (y − 6)² = 25.

Voorbeeld 3: een cirkel die raak is aan een as

Een cirkel met het midden (5, 3) die de x-as raakt heeft de straal gelijk aan de afstand van het centrum tot de as, r = 3. Vergelijking: (x − 5)² + (y − 3)² = 9.

Hoe zet je het algemene formulier om?

Het uitbreiden van het standaard formulier geeft x² + y² − 2 ax − 2 by + (a² + b² − r²) = 0. In omgekeerde richting, voor x² + y² + Dx + Ey + F = 0,, vul het vierkant in: (x + D/2)² + (y + E/2)² = D²/4 + E²/4 − F. De rechterkant is r². Als het positief is, is de vergelijking een cirkel; als nul, dan is het één punt; als negatief, geen echte punten.

Voorbeeld 4: het vierkant voltooien

x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0. Daarna (x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 − 12 = 0,, dus (x − 3)² + (y + 2)² = 25: centrum (3, −2), straal 5.

Voorbeeld 5: gevallen van degeneratie

x² + y² − 4x + 4y + 8 = 0 geeft (x − 2)² + (y + 2)² = 0,, het enkelvoudige punt (2, −2). En x² + y² + 2x + 2y + 5 = 0 geeft (x + 1)² + (y + 1)² = −3,, die geen echte oplossingen heeft.

Hoe vind je een cirkel door drie punten?

Vervang de drie punten in x² + y² + Dx + Ey + F = 0 en los het lineaire systeem voor D, E, F op. Als alternatief, vind de kruising van twee loodrechte bisectoren, het omtrek. Drie punten op één lijn bepalen geen cirkel.

Voorbeeld 6: een systeem voor D, E, F

Door (0, 0), (4, 0), (0, 2). Van (0, 0): F = 0. Van (4, 0): 16 + 4D = 0, D = −4. Van (0, 2): 4 + 2E = 0, E = −2. De vergelijking: x² + y² − 4x − 2y = 0,, equivalent (x − 2)² + (y − 1)² = 5. De juiste hoek aan de oorsprong betekent dat AB een diameter is, consistent met de stelling van Thales: het centrum (2, 1) is het middelpunt van (4, 0) en (0, 2).

Hoe komt een lijn aan een cirkel?

Vervang de lijn in de cirkel om een kwadratische vergelijking te krijgen. Twee oplossingen betekenen een secant, één betekent een tangens, geen betekent dat de lijn mist de cirkel. Vergelijk de afstand d van het centrum met de lijn met r: d < r secant, d = r tangens, d > r geen kruising.

Voorbeeld 7: een secant

Lijn y = x + 1 en cirkel x² + y² = 25. Vervolgens x² + (x + 1)² = 25,, dus x² + x − 12 = 0, x = 3 of x = −4. De punten: (3, 4) en (−4, −3). De akkoordenlengte is √(49 + 49) = 7√2 ≈ 9.9.

Voorbeeld 8: een raaklijn door afstand

Voor welke k is y = x + k raaklijn aan x² + y² = 25? De regel x − y + k = 0 heeft de afstand |k|/√2 tot de oorsprong, dus |k|/√2 = 5, k = ±5√2 ≈ ±7.07.

Hoe vind je raaklijnen?

Op het punt (x₀, y₀) op de cirkel (x − a)² + (y − b)² = r²,, staat de raaklijn loodrecht op de straal met de vergelijking (x₀ − a)(x − a) + (y₀ − b)(y − b) = r². Voor een punt buiten de cirkel zijn er twee raaklijnen, en de raaklengte is √(d² − r²),, waarbij d de afstand van het punt naar het centrum is.

Voorbeeld 9: raaklijn op een punt

At (3, 4) on x² + y² = 25: 3x + 4y = 25.

Voorbeeld 10: raaklijnen vanaf een extern punt

Van (5, 0) tot x² + y² = 9. De raaklengte is √(25 − 9) = 4. Het contactakkoord heeft de vergelijking 5x = 9, dus x = 9/5, en y² = 9 − 81/25 = 144/25,, dus y = ±12/5. De raakpunten zijn (9/5, ±12/5). Controle: de tangens op (9/5, 12/5) is (9/5)x + (12/5)y = 9, die door (5, 0) gaat sinds 9 = 9 ✓.

Tabel van cirkelvergelijkingen

Waar komt de cirkelvergelijking vandaan?

Cirkels werden bestudeerd in Euclides Elements als figuren gedefinieerd door een centrum en radius. De algebraïsche vergelijking verscheen nadat René Descartes en Pierre de Fermat coördinaatgeometrie creëerden in de 1630s.

Welke fouten zijn er vaak?

Teken van het midden

(x + 3)² betekent dat het centrum x = −3 heeft. De tekens binnen de haakjes staan tegenover de coördinaten.

Gebruik van r in plaats van r²

Rechts-de handzijde is r². Voor (x − 1)² + (y − 2)² = 16,, is de straal 4, niet 16.

Vergeten om het vierkant op beide variabelen te voltooien

Zowel x als y termen moeten worden ingevuld, en de constanten verplaatst naar de rechterkant met het juiste teken.

Ervan uitgaande dat elke vergelijking van deze vorm een cirkel is

Controleer of de rechterkant na het voltooien van het vierkant positief is (Voorbeeld 5).