Kettingregel, samengestelde en omgekeerde functies

De kettingregel zegt dat de afgeleide van een samengestelde functie f(g(x)) f′(g(x)) · g′(x) is: de afgeleide van de buitenfunctie geëvalueerd op de innerlijke functie, maal de afgeleide van de innerlijke functie. In het kort: (sin 3x)′ = 3 cos 3x, ((x² + 1)⁵)′ = 5(x² + 1)⁴ · 2x en (e^x²)′ = 2x e^x². Voor een omgekeerde functie, , (f⁻¹)′(y) = 1/f′(x) waarbij y = f(x).

De meeste functies zijn composities: lagen van handelingen die de ene na de andere worden toegepast. De kettingregel pelt de lagen van buiten af naar binnen, waarbij de afgeleide van elke laag wordt vermenigvuldigd. Het is de meest gebruikte regel in calculus. Deze gids geeft de regel in twee notaties, toont een stap-voor-stap methode, behandelt combinaties met het product en quotiënt regels, ontleent de afgeleide van inverse functies (met inbegrip van arcsine en ln) en geeft een tabel van kettingregel vormen.

Wat is de kettingregel?

Als y = f(u) en u = g(x), dan dy/dx = (dy/du) · (du/dx) , of (f ∘ g)′(x) = f′(g(x)) · g′(x). De intuïtie: als y 3 keer zo snel verandert als u, en u 2 keer zo snel verandert als x, dan verandert y 6 keer zo snel als x.

Proefidee: dy/dx = lim (Δy/Δu)(Δu/Δx) = (dy/du)(du/dx) als Δx → 0, aangezien Δu → 0 ook (een zorgvuldig bewijs behandelt de zaak Δu = 0 afzonderlijk).

Hoe past u het stap voor stap toe?

Identificeer de buitenfunctie f en de binnenfunctie g.
Differentieer de buitenfunctie, waardoor de binnenfunctie onveranderd blijft: f′(g(x)).
Vermenigvuldigen met de afgeleide van de binnenfunctie: g′(x).
Herhaal voor meerdere lagen van buitenaf.

Voorbeeld 1: macht van een expressie

((3x + 1)⁴)′ = 4(3x + 1)³ · 3 = 12(3x + 1)³. En ((x² − 5x)¹⁰)′ = 10(x² − 5x)⁹(2x − 5).

Voorbeeld 2: root van een expressie

(√(x² + 1))′ = (1/(2√(x² + 1))) · 2x = x/√(x² + 1). At x = 1: 1/√2 ≈ 0.707.

Voorbeeld 3: trigonometrisch, exponentieel en logaritmisch

(sin 3x)′ = 3 cos 3x. (cos(x²))′ = −2x sin(x²). (e^−x)′ = −e^−x. (e^x²)′ = 2x e^x². (ln(x² + 1))′ = 2x/(x² + 1). En (ln f(x))′ = f′(x)/f(x) in het algemeen.

Voorbeeld 4: meerdere lagen

(sin²(3x))′: de buitenste laag is het vierkant, dan sin en dan 3x: 2 sin(3x) · cos(3x) · 3 = 6 sin 3x cos 3x = 3 sin 6x. En (e^{sin x})′ = e^{sin x} cos x. En (√(1 + cos²x))′ = (1/(2√(1 + cos²x))) · 2 cos x · (−sin x) = −sin x cos x/√(1 + cos²x).

Voorbeeld 5: algemene exponentieelheden

(a^x)′ = (e^{x ln a})′ = e^{x ln a} ln a = a^x ln a. En (2^x²)′ = 2^x² ln 2 · 2x.

Hoe combineer je het met andere regels?

Voorbeeld 6: product en keten

(x e^3x)′ = e^3x + x · 3e^3x = e^3x(1 + 3x).

Voorbeeld 7: quotiënt en ketting

(sin x/(1 + x²)³)′ = [cos x (1 + x²)³ − sin x · 3(1 + x²)² · 2x]/(1 + x²)⁶ = [cos x (1 + x²) − 6x sin x]/(1 + x²)⁴.

Voorbeeld 8: logaritmische differentiatie

Voor y = x^x (x > 0): ln y = x ln x, dus y′/y = ln x + 1 en y′ = x^x(ln x + 1). At x = 2: 4(0.6931 + 1) = 6.77. De methode helpt ook voor producten met vele factoren.

Wat is de afgeleide van een omgekeerde functie?

Als f differentieel is en één-naar-één met f′(x) ≠ 0, dan voldoet het inverse g = f⁻¹ aan g′(y) = 1/f′(g(y)) . Dit volgt uit de kettingregel die wordt toegepast op f(g(y)) = y: f′(g(y)) · g′(y) = 1. Grafisch gezien zijn de hellingen van de raaklijnen van f en f⁻¹ op overeenkomstige punten (a, b) en (b, a) wederkerig, aangezien de grafieken reflecties zijn in y = x.

Voorbeeld 9: de natuurlijke logaritme

g(y) = ln y is het inverse van f(x) = e^x. g′(y) = 1/e^{ln y} = 1/y ✓.

Voorbeeld 10: boogsin

g(y) = arcsin y is de inverse van sin x op [−π/2, π/2]. g′(y) = 1/cos(arcsin y) = 1/√(1 − y²). Controle: bij y = 1/2, arcsin = π/6, en cos(π/6) = √3/2, dus g′ = 2/√3 ≈ 1.155; en 1/√(1 − 1/4) = 1/(√3/2) ✓. Evenzo (arctan y)′ = 1/(1 + y²) en (arccos y)′ = −1/√(1 − y²).

Voorbeeld 11: een specifieke waarde

f(x) = x³ + x. Zoek (f⁻¹)′(10). Los f(x) = 10: x = 2 (8 + 2 = 10). f′(2) = 3 · 4 + 1 = 13. Dus (f⁻¹)′(10) = 1/13.

Wat is impliciete differentiatie?

Wanneer y impliciet wordt gedefinieerd door een vergelijking, onderscheid beide zijden met betrekking tot x, behandelen van y als een functie van x (gebruik de kettingregel voor termen met y), en oplossen voor y′.

Voorbeeld 12

x² + y² = 25. Differentiatie: 2x + 2y y′ = 0, dus y′ = −x/y. Op het punt (3, 4): de helling is −3/4, loodrecht op de straal, zoals verwacht voor een cirkel.

Tabel met kettingregelvormen

Kettingregelvormen van gemeenschappelijke derivaten
Functie	Afgeleid	Voorbeeld
[u(x)]ⁿ	n uⁿ⁻¹ u′	((2x + 1)³)′ = 6(2x + 1)²
√u	u′/(2√u)	(√(1 + x))′ = 1/(2√(1 + x))
e^u	u′ e^u	(e^5x)′ = 5e^5x
ln u	u′/u	(ln(3x))′ = 1/x
sin u	u′ cos u	(sin(x²))′ = 2x cos(x²)
cos u	−u′ sin u	(cos 4x)′ = −4 sin 4x
arctan u	u′/(1 + u²)	(arctan 2x)′ = 2/(1 + 4x²)

Waar komt de regel vandaan?

De kettingregel verschijnt impliciet in het werk van Leibniz, wiens notatie dy/dx = (dy/du)(du/dx) het doet lijken op het annuleren van breuken. Hij gebruikte de regel in zijn werk in de 1670s. Lagrange en Cauchy gaven formele verklaringen in de late achttiende en vroege negentiende eeuw. De notatie (f ∘ g)′ = (f′ ∘ g) · g′ is standaard vandaag.

Waar wordt het gebruikt?

Gerelateerde percentages in de natuurkunde en techniek gebruiken de kettingregel: als de straal van een ballon groeit bij 2 cm/s, groeit het volume V = (4/3)πr³ bij dV/dt = 4πr² · dr/dt; op r = 10 cm: 4π · 100 · 2 ≈ 2,513 cm³/s. In machine learning is backpropagation de kettingregel die wordt toegepast door de lagen van een neuraal netwerk. In de scheikunde en economie worden veranderingen gekoppeld door middel van intermediaire variabelen.

Welke fouten zijn er vaak?

Vergeet de innerlijke afgeleide

(sin 3x)′ = 3 cos 3x. De factor 3 komt uit de binnenfunctie.

De innerlijke functie binnen de buitenste afgeleide gedifferentieerd maken

f′(g(x)) betekent het buitenderivaat dat bij g(x) wordt beoordeeld. Voor (e^x²)′ is het buitenste derivaat e^u, berekend op u = x².

sin²x verwarren met sin x²

(sin²x)′ = 2 sin x cos x, terwijl (sin x²)′ = 2x cos x².

De omgekeerde functie en het wederkerige samenbrengen

(f⁻¹)′ is 1/f′ beoordeeld op het overeenkomstige punt g(y), niet 1/f′(y).