Hoogte stelling en beenstelling

De hoogte stelling en de beenstelling beschrijven hoe de hoogte tot de hypotenusus van een rechthoekige driehoek het in twee kleinere rechthoekige driehoeken verdeelt en eenvoudige formules voor lengtes geeft. In het kort: als de hoogte h de hypotenuse c in segmenten p en q splitst, dan h² = p · q, a² = c · p en b² = c · q. Voor p = 4 en q = 9, is de hoogte h = √36 = 6.

Deze twee resultaten, ook wel de geometrische gemiddelde theorieën of Euclids theorieën genoemd, volgen uit de gelijkenis van driehoeken. Samen met de stelling van Pythagoras laten ze je toe om alle lengtes in een rechthoekige driehoek te vinden uit slechts twee stukjes data. Deze gids legt de opstelling, de formules, een bewijs, werkte voorbeelden en waar ze worden gebruikt.

Wat is de hoogte van de hypotenusa?

Neem een rechthoekige driehoek ABC met de juiste hoek bij C, benen a = BC en b = AC en hypotenuse c = AB. De hoogte van C tot de hypotenuse is het loodrechte segment van C tot de lijn AB, met voet D en lengte h. Het punt D verdeelt de hypotenusus in twee delen: p = BD, naast been a, en q = AD, naast been b. Dus c = p + q.

De twee kleine driehoeken ACD en CBD zijn rechthoekige driehoeken.

Wat staat er in de hoogte stelling?

Het kwadraat van de hoogte is gelijk aan het product van de twee segmenten van de hypotenuse: h² = p · q. Met andere woorden, h is het geometrische gemiddelde van p en q: h = √(pq). Het kan worden gebruikt om een vierkant te construeren dat in oppervlakte gelijk is aan een gegeven rechthoek, een klassiek gebruik in de Griekse geometrie.

Wat zegt de beenstelling?

Het vierkant van een been is gelijk aan het product van de hypotenuse en het segment dat aan dat been grenst: a² = c · p en b² = c · q. Het toevoegen van de twee vergelijkingen geeft a² + b² = c(p + q) = c²,, wat de stelling van Pythagoras is. Dus de been stelling geeft er een ander bewijs van.

Waarom werken de theorieën?

De hoogte creëert drie vergelijkbare driehoeken: ABC, CBD en ACD. De driehoek CBD deelt de hoek B met ABC, en beide hebben een rechte hoek, dus ze zijn vergelijkbaar. Ook ACD is vergelijkbaar met ABC. Van CBD ~ ABC: BD/BC = BC/AB, wat p/a = a/c, is dus a² = cp. Van ACD ~ ABC: AD/AC = AC/AB geeft q/b = b/c, dus b² = cq. Van ACD ~ CBD: AD/CD = CD/BD geeft q/h = h/p, dus h² = pq.

Het belangrijkste idee is vergelijkbare driehoeken.

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1: hoogte van de segmenten

De hoogte splitst de hypotenuse in 4 en 9. Daarna h = √(4 · 9) = 6. De hypotenuse is 13. De poten zijn a = √(13 · 4) = √52 = 2√13 ≈ 7.21 en b = √(13 · 9) = √117 = 3√13 ≈ 10.82. Controleer bij Pythagoras: 52 + 117 = 169 = 13² ✓.

Voorbeeld 2: uit de hypotenuse en een been

Een rechthoekige driehoek heeft hypotenuse 25 en been a = 15. Vervolgens p = a²/c = 225/25 = 9,, en q = 25 − 9 = 16. De hoogte is h = √(9 · 16) = 12. Het andere been is b = √(25 · 16) = 20, wat de 15-20-25 driehoek, een veelvoud van 3-4-5 geeft.

Voorbeeld 3: van de benen

Benen 6 en 8. De hypotenuse is 10. De hoogte kan ook worden berekend vanuit het gebied: (1/2) · 6 · 8 = 24 = (1/2) · 10 · h, dus h = 4.8. Check: p = 36/10 = 3.6, q = 6.4 en pq = 23.04 = 4.8² ✓.

Formulesamenvatting

Waar komen de theorieën vandaan?

Beide theorieën zijn klassiek en zijn verbonden met Euclides Elements, waaronder de constructie van een gemiddelde proportionele met behulp van een rechthoekige driehoek en de hoogte. Hun namen variëren van land tot land: in sommige landen wordt de stelling van het been Euclid genoemd en de stelling van de hoogte is de stelling van de hoogte. De uitspraak als een paar algebraïsche formules is een moderne manier om de klassieke verhoudingen te schrijven.

Waar worden ze vandaag gebruikt?

De geometrische gemiddelde constructie wordt gebruikt bij het opstellen van een vierkant van een bepaald gebied met een kompas en een rechte rand. In de praktijk helpen de theorieën om hoogtes te vinden in een rechthoekige driehoek die niet direct gemeten kan worden, en ze komen voor in problemen met oprijplaten en dakframes. Ze zijn ook een standaard instrument in de competitie geometrie.

Welke fouten zijn er vaak?

Mengen van p en q

Het been a gaat met het segment p ernaast. Teken een diagram en label de segmenten zorgvuldig.

De theorieën gebruiken voor niet-rechtse driehoeken

Ze hebben een rechte hoek nodig bij C en de hoogte tot de hypotenusa.

De wortel vergeten

h² = pq geeft h = √(pq), niet pq.

Verwarring van de hoogte met een mediaan

De hoogte staat loodrecht op de hypotenusa. De mediaan gaat naar het middenpunt en heeft lengte c/2 in een rechthoekige driehoek.