Vierecke Überblick und Beziehungen
Ein Viereck ist ein Polygon mit vier Seiten, und die speziellen Typen (Trapezoid, Parallelogramm, Rechteck, Rhombus, Quadrat und Kite) sind durch Einschluss miteinander verbunden: Jedes Quadrat ist ein Rechteck, jedes Rechteck ist ein Parallelogramm und so weiter. Kurz gesagt: Die Innenwinkel jedes Vierecks addieren sich zu 360°. Ein Parallelogramm hat zwei Paare von parallelen Seiten, ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit vier rechten Winkeln, ein Raute ist ein Parallelogramm mit vier gleichen Seiten und ein Quadrat ist sowohl ein Rechteck als auch ein Raute.
Viele Formen im Alltag sind Vierecke, und ihre Namen sind leicht zu verwechseln. Der Schlüssel zur Ordnung ist der Stammbaum der Definitionen: Jedes spezielle Viereck hat alle Eigenschaften der Typen darüber. In diesem Leitfaden werden das allgemeine Viereck, die Winkelsumme, der Stammbaum, die Identifizierung eines Vierecks anhand seiner Eigenschaften und die Hilfe der Diagonalen mit einer Tabelle erläutert, in der die Eigenschaften verglichen werden.
Was ist ein Viereck?
Ein Viereck hat vier Eckpunkte, vier Seiten und zwei Diagonalen. Es ist konvex, wenn beide Diagonalen in ihm liegen, und konkav, wenn ein Scheitelpunkt nach innen zeigt. Die Summe der Innenwinkel eines einfachen Vierecks beträgt 360°: Eine Diagonale teilt es in zwei Dreiecke mit einer Winkelsumme von jeweils 180°. Der Umfang ist die Summe der vier Seiten. In einem Viereck mit drei Winkeln von 80°, 95° und 110°, ist das vierte 360° − 285° = 75°.
Ein Viereck wird durch mehr Daten als ein Dreieck bestimmt: vier Seiten fixieren seine Form nicht, da ein flexibler Rahmen aus vier Stäben seine Winkel ändern kann. Eine Diagonale macht es starr, indem sie es in zwei Dreiecke aufteilt.
Wie hängen die speziellen Vierecke zusammen?
- Trapezoid (Trapez): mindestens ein Paar paralleler Seiten.
- Parallelogramm: zwei Paare von parallelen Seiten. Es ist ein Trapez in der inklusiven Definition.
- Rechteck: ein Parallelogramm mit vier rechten Winkeln.
- Rhombus: ein Parallelogramm mit vier gleichen Seiten.
- Quadrat: ein Rechteck, das auch eine Raute ist.
- Kite: zwei Paare von benachbarten gleichen Seiten. Ein Raute ist ein Drachen, und so ist ein Quadrat.
Der Stammbaum: viereckiges ⊃ Trapez ⊃ Parallelogramm ⊃ {Rechteck, Rhombus} ⊃ Quadrat. Der Kite ist ein weiterer Zweig: viereckiger ⊃ Kite ⊃ rhombus ⊃ quadratisch. Einige Lehrbücher definieren ein Trapez als genau ein Paar paralleler Seiten, was Parallelogramme von Trapezen ausschließt. Beide Konventionen existieren, also überprüfen Sie, welche Ihr Kurs verwendet.
Wie erkennt man ein Viereck?
- Überprüfen Sie auf parallele Seiten: keine (allgemein oder Kite), ein Paar (Trapezoid) oder zwei Paare (Parallelogrammfamilie).
- Für die Parallelogrammfamilie überprüfen Sie die Seiten und die Winkel: alle Seiten gleich macht eine Raute, alle Winkel rechts macht ein Rechteck, beide macht ein Quadrat.
- Überprüfen Sie auf angrenzende gleiche Seiten, um einen Kite zu finden.
- Verwenden Sie den spezifischsten Namen, der passt.
Beispiel 1: Koordinaten
A(0, 0), B(4, 0), C(6, 3), D(2, 3). Slopes: AB = 0, BC = 3/2, CD = 0, DA = 3/2. Zwei Paare paralleler Seiten, also ein Parallelogramm. Seiten: AB = 4, BC = √13, CD = 4, DA = √13. Ungleiche angrenzende Seiten, also kein Rhombus. Kein Rechteck, da die Seiten nicht senkrecht stehen (Steigungen 0 und 3/2).
Beispiel 2: aus Winkeln
Ein Viereck mit Winkeln 60°, 120°, 60°, 120° in dieser Reihenfolge hat entgegengesetzte Winkel gleich und aufeinanderfolgende Winkel addieren sich zu 180°, so dass die Seiten parallel sind und es ein Parallelogramm ist.
Eigenschaften von Vierecken im Vergleich
| Eigenschaft | Parallelogramm | Rechteck | Rhombus | Quadrat | Kite |
|---|---|---|---|---|---|
| Parallel gegenüberliegende Seiten | Y | Y | Y | Y | N |
| Gegenüber liegende Seiten gleich | Y | Y | Y | Y | N |
| Alle Seiten gleich | N | N | Y | Y | N |
| Alle Winkel 90° | N | Y | N | Y | N |
| Diagonale halbieren sich gegenseitig | Y | Y | Y | Y | N |
| Diagonale gleich | N | Y | N | Y | N |
| Diagonale senkrecht | N | N | Y | Y | Y |
Was sagen Ihnen die Diagonalen?
Die Diagonalen zeigen die Art eines Vierecks. Wenn die Diagonalen sich halbieren, ist es ein Parallelogramm. Wenn sie auch gleich sind, ist es ein Rechteck, und wenn sie auch senkrecht sind, ist es eine Raute (halbierende Diagonalen, die senkrecht sind). Gleiche, senkrechte und halbierende Diagonalen ergeben ein Quadrat. In einem Drachen ist eine Diagonale die senkrechte Halbierende der anderen.
Beispiel 3
Eckpunkte A(0, 0), B(3, 1), C(4, 4), D(1, 3). Der Mittelpunkt von AC ist (2, 2) und von BD ist (2, 2). Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig, so dass ABCD ein Parallelogramm ist. Die Steigung von AC ist 1, und die Steigung von BD, von (3, 1) bis (1, 3), ist (3 − 1)/(1 − 3) = −1, Das Produkt 1 · (−1) = −1, also sind die Diagonalen senkrecht. Die Seiten AB = √10 und BC = √10, also ist es eine Raute. Die Diagonalen AC = √32 und BD = √8 sind ungleich, also ist es kein Quadrat.
Woher kommen die Namen?
Das Wort viereckig kommt aus dem Lateinischen quadri (vier) und latus (Seite). Rhombus ist von einem griechischen Wort für einen Kreisel, und Trapez kommt von dem griechischen Wort für einen Tisch. Euklid klassifiziert Vierecke in Quadrat, länglich, Rhombus, Rhomboid und Trapez in Buch I der Elemente. Die Namen Parallelogramm und Kite für die Formen, die wir heute kennen, entwickelten sich später, und die Bedeutung von “Trapezium” unterscheidet sich zwischen britischem und amerikanischem Englisch.
Wo werden heute Vierecke verwendet?
Rechtecke sind überall: Bildschirme, Bücher und Räume. Parallelogramme erscheinen in Mechanismen wie Scherenliften und den Verknüpfungen von Klapptischen, weil gegenüberliegende Seiten parallel bleiben, wenn sich der Winkel ändert. Drachen werden als fliegende Drachen und im Design verwendet, und Trapeze erscheinen in Brücken, Dächern und dem Kreuz-Abschnitt der Kanäle.
Welche Fehler treten häufig auf?
Behandlung der Kategorien als getrennt
Ein Quadrat ist auch ein Rechteck und eine Raute. Verwenden Sie den spezifischsten Namen, aber denken Sie an die Aufnahme.
Angenommen, gleiche Seiten bedeuten eine Raute, ohne alle vier zu überprüfen
Ein Kite kann zwei Paare von gleichen Seiten haben, ohne eine Raute zu sein. In einem Rhombus sind alle vier Seiten gleich.
Das Übereinkommen über Trapeze vergessen
Ob ein Parallelogramm als Trapez zählt, hängt von der verwendeten Definition ab.
Angenommen, gleiche Diagonalen bedeuten ein Rechteck
Ein gleichschenkliges Trapez hat auch gleiche Diagonalen. Ein Rechteck benötigt Diagonalen, die gleich sind und sich gegenseitig halbieren.