Beugungsgitter und Wellendispersion

Ein Beugungsgitter ist eine Oberfläche mit vielen gleichmäßig beabstandeten parallelen Schlitzen (oder Linien), die Licht in scharfe Spektren nach d sin θ = mλ, ausbreitet, wobei d der Abstand der Linien und m die Reihenfolge ist; es trennt Farben, weil jede Wellenlänge in einem anderen Winkel gebeugt wird, und ein Gitter mit mehr Linien gibt schärfere, hellere Maxima. Kurz gesagt: Der Gitterabstand ist d = 1 ÷ (Anzahl der Linien pro Meter). Höhere Ordnungen ergeben größere Winkel; die maximal mögliche Ordnung ist die größte ganze Zahl kleiner als d ÷ λ. Die Auflösungsleistung ist R = λ ÷ Δλ = mN, wobei N die Anzahl der beleuchteten Linien ist. Gräser werden in Spektrometern verwendet, um Elemente zu identifizieren, in Teleskopen sowie in Lasern und CDs (die Farben auf der Oberfläche einer CD stammen aus der Beugung).

Ein Gitter liefert viel hellere und schärfere Spektren als ein Doppelspalt, und ist daher das Standardwerkzeug zur Messung von Wellenlängen. Dieses Handbuch leitet die Gittergleichung ab, erklärt Ordnungen, Auflösungskraft und den Unterschied zu einem Prisma, vergleicht Gitter und Prismen in einer Tabelle, arbeitet durch numerische Beispiele und korrigiert häufige Fehler.

Was ist die Gittergleichung?

Licht der Wellenlänge λ fällt bei normalem Einfall auf ein Gitter mit Linienabstand d. Licht aus benachbarten Schlitzen ist in einer Richtung θ phasengleich, wenn die Wegdifferenz zwischen benachbarten Schlitzen, d sin θ, eine ganze Anzahl von Wellenlängen ist:

d sin θ = mλ, m = 0, ±1, ±2, ….

Das zentrale Maximum (m = 0) liegt bei θ = 0 für alle Wellenlängen. Die erste-Bestellwert (m = 1) ist an sin θ = λ ÷ d. Da viele Schlitze beitragen, sind die Intensitätsmaxima schmal und hell; zwischen ihnen hebt sich das Licht aus den vielen Schlitzen auf und erzeugt fast dunkle Bereiche. Die Maxima werden mit zunehmender Anzahl der beleuchteten Schlitze N schmaler: Die Breite ist proportional zu λ ÷ (Nd). Ein Gitter wird durch die Anzahl der Linien pro Millimeter beschrieben (zum Beispiel 300, 600 oder 1,200 Linien/mm), und d ist der Kehrwert).

Wie bilden Gitter Spektren?

Bei weißem Licht besteht jede Ordnung m ≥ 1 aus einem Spektrum: Violett (kleinste Wellenlänge) wird am geringsten Winkel gebeugt und am meisten rot (das Gegenteil eines Prismas, wo Violett am meisten gebogen wird). Das zentrale Maximum ist weiß. Höhere Ordnungen sind breiter und überlappen sich schließlich: Ordnung m überlappt Ordnung m + 1 wenn mλ_red > (m + 1)λ_violet. Für sichtbares Licht (400 bis 700 nm), überlappen sich die erste und zweite Ordnung nicht (700 nm ist kleiner als 2 × 400 = 800 nm),, aber die zweite und dritte Ordnung do (2 × 700 = 1,400 nm ist größer als 3 × 400 = 1,200 nm). Bei einer Lichtquelle wie einem Heißgas (Natriumlampe, Quecksilberlampe) zeigt ein Gitter die charakteristischen hellen Linien des Emissionsspektrums, die das Element kennzeichnen. Die Winkeldispersion, dθ/dλ = m ÷ (d cos θ), ist für höhere Ordnungen und feinere Gitter größer, so dass die Linien besser getrennt sind.

Was ist Auflösungskraft?

Das Auflösungsvermögen eines Gitters, R = λ ÷ Δλ = mN, ist die Fähigkeit, zwei nahe Wellenlängen zu trennen: Die kleinste Wellenlängendifferenz Δλ, die unterschieden werden kann, ist Δλ = λ ÷ (mN). Ein Gitter mit mehr Linien und einer höheren Ordnung löst feinere Details auf. Um die Natrium-Dubletten (589.0 nm und 589.6 nm, Δλ = 0.6 nm) in der zweiten Ordnung , N ≥ λ ÷ (mΔλ) = 589.3 ÷ (2 × 0.6) = 491 aufzulösen, müssen Linien beleuchtet werden. Ein typisches 600 Linien/mm Gitter mit einer Strahlbreite von 1 cm beleuchtet 6,000 Linien, was mehr als genug ist.

Gräben und Prismen im Vergleich

Bearbeitetes Beispiel: a 600 lines/mm grating

1. Abstand: d = 1 mm ÷ 600 = 1.667 × 10⁻⁶ m = 1.667 µm.
2. Erste Ordnung für Natriumlicht (589 nm): sin θ₁ = λ ÷ d = 589 × 10⁻⁹ ÷ 1.667 × 10⁻⁶ = 0.353, θ₁ = 20.7°.
3. Zweite Ordnung: sin θ₂ = 2 × 0.353 = 0.707, θ₂ = 45.0°.
4. Maximale Ordnung: d ÷ λ = 1.667 ÷ 0.589 = 2.83, so dass die maximale Ordnung m = 2 ist. Die dritte Ordnung bräuchte sin θ = 1.06,, was unmöglich ist. Insgesamt gibt es 5 Maxima: m = 0, ±1, ±2.
5. Die Wellenlänge finden. Die erste-Ordnungsmaximum für ein unbekanntes Licht wird beobachtet bei 25.0°: λ = d sin θ = 1.667 × 10⁻⁶ × sin 25.0° = 1.667 × 10⁻⁶ × 0.4226 = 7.04 × 10⁻⁷ m = 704 nm (rot.
6. Weißes Licht erster Ordnung: violett (400 nm): sin θ = 0.240, θ = 13.9°; rot (700 nm): sin θ = 0.420, θ = 24.8°. Das Spektrum erstreckt sich über etwa 11° und ist nahezu linear in der Wellenlänge.

Wer hat das Gitter erfunden?

David Rittenhouse machte das erste Beugungsgitter im Jahr 1785, mit Haaren in zwei Schrauben. Joseph von Fraunhofer erzeugte präzise Gitter in den frühen 1820s und maß Wellenlängen mit ihnen. Henry Rowland machte hoch-konkaven Qualitätsgittern im 1880s an der Johns Hopkins University, mit herrschenden Maschinen von großer Präzision. Heute sind holographische Gitter, die durch Interferenz von Laserstrahlen erzeugt werden, weit verbreitet, und Gitter sind für Spektrometer in der Chemie, Astronomie und Telekommunikation (Wellenlängenmultiplex) von zentraler Bedeutung.

Welche Fehler treten häufig auf?

Fehler 1: Verwendung der Anzahl der Linien pro Millimeter als d

d ist der Reziprok: d = 1 mm ÷ (Linien pro mm).

Fehler 2: Erwarten violett im größten Winkel

In einem Gitter wird Rot am meisten gebeugt. In einem Prisma wird Violett am meisten gebogen.

Fehler 3: Vergessen, dass es eine maximale Ordnung gibt

sin θ darf nicht mehr als 1, so m ≤ d ÷ λ.

Fehler 4: Verwirrende Dispersion und Auflösungsvermögen

Dispersion ist der Winkelabstand von Wellenlängen. Auflösungsvermögen bezieht sich auf die Schärfe, gesteuert durch N.