Zyklische und tangentiale Vierecke

Ein zyklisches Viereck hat vier Eckpunkte auf einem Kreis, während ein tangentiales Viereck vier Seiten hat, die an einen eingeschriebenen Kreis angrenzen. Kurz gesagt: Gegensätzliche Winkel einer zyklischen Vierecksumme zu 180 Grad, während die gegenüberliegende Seite-Längensummen eines tangentialen Vierecks sind gleich. Diese Eigenschaften betreffen verschiedene Arten, wie sich ein Kreis auf das Viereck bezieht.

Die beiden Kategorien können sich überschneiden, aber keine der beiden Definitionen impliziert die andere im Allgemeinen. Ein Quadrat hat beide Eigenschaften, während viele andere Vierecke nur eine haben. In diesem Leitfaden werden die definierenden Bedingungen erläutert, die Hauptwinkel- und Längenregeln abgeleitet und aufgezeigt, wie sie anzuwenden sind, ohne eine notwendige Prüfung als ungerechtfertigte Konstruktion zu behandeln.

Was ist ein zyklisches Viereck?

Ein zyklisches Viereck ist ein Viereck, dessen vier Eckpunkte auf einem Kreis liegen. In der üblichen konvexen Konfiguration werden die Eckpunkte in ihrer Reihenfolge um den Kreis herum aufgeführt, und die Seiten sind Akkorde. Der Kreis ist der Umkreis des Vierecks.

Jedes Dreieck hat einen Umkreis, aber ein vierter Punkt liegt im Allgemeinen nicht auf demselben Kreis. Cyclicity erlegt daher eine echte Beschränkung auf ein Viereck. Eine Zeichnung, die ungefähr kreisförmig aussieht, reicht nicht aus; die Eigenschaft muss aus einem Satz gegeben oder festgelegt werden.

Ein Rechteck ist zyklisch, weil jedes Paar von entgegengesetzten Winkeln 180 Grad beträgt. Sein Circularcenter ist der Schnittpunkt seiner Diagonalen, und jede Diagonale ist ein Durchmesser des Circularcircle. Ein allgemeines Parallelogramm ist nur dann zyklisch, wenn es sich um ein Rechteck handelt, da entgegengesetzte Winkel gleich sind und zusätzlich ergänzt werden müssen.

Warum addieren sich entgegengesetzte Winkel eines zyklischen Vierecks zu 180 Grad?

Jeder gegenüberliegende Winkel ist ein eingeschriebener Winkel, der einen von zwei Bögen auffängt, die zusammen den vollständigen Kreis bilden. Ihr Bogen misst die Summe zu 360 Grad. Da jeder eingeschriebene Winkel die Hälfte seines abgefangenen Bogens beträgt, summieren sich die beiden Winkel auf 180 Grad.

Für zyklische ABCD: Winkel A + Winkel C = 180 Grad und Winkel B + Winkel D = 180 Grad. Wenn Winkel A 68 Grad ist, ist Winkel C 112 Grad. Die benachbarten Winkel ß und D bleiben einzeln unbestimmt, wenn nicht eine andere Bedingung gegeben ist.

Das Gegenteil gilt für ein einfaches konvexes Viereck: Wenn ein Paar entgegengesetzter Winkel komplementär ist, ist das Viereck zyklisch. Dies gibt einen Winkel–basierten Test für einen gemeinsamen Umkreis. Geben Sie die konvexe, gewöhnliche viereckige Einstellung an, anstatt die Regel ohne Qualifikation auf gekreuzte oder degenerierte Figuren auszudehnen.

Wie löst man ein zyklisch-viereckiges Winkelproblem?

Angenommen, die gegenüberliegenden Winkel A und C sind mit 2x + 10 und 3x − 5 Grad gekennzeichnet. Ihre Summe ist 180, also 5x + 5 = 180 und x = 35. Die Winkel sind A = 80 Grad und C = 100 Grad, die als Ergänzung geprüft werden.

Wenn ein anderer Winkel ß 75 Grad beträgt, ist der entgegengesetzte Winkel D 105 Grad. Die vollständige Winkelsumme ist 80 + 75 + 100 + 105 = 360 Grad, wie für ein konvexes Viereck erforderlich. Sowohl circle-spezifische als auch gewöhnliche Polygonprüfungen stimmen überein.

Ein durch Verlängerung einer Seite gebildeter Außenwinkel entspricht dem gegenüberliegenden Innenwinkel, da jeder zu demselben benachbarten Innenwinkel komplementär ist. Verwenden Sie eine deutlich gekennzeichnete Verlängerung, um zu erkennen, welcher Außenwinkel gemeint ist. Dieses Ergebnis kann die Außenmessung eines Diagramms ohne separate Bogenberechnung in einen Innenwinkel umwandeln.

Was ist ein tangentiales Viereck?

Ein tangentiales Viereck ist ein konvexes Viereck mit einem Kreis, der alle vier Seiten berührt. Der Kreis ist sein Kreis, und das Viereck ist um diesen Kreis herum umschrieben. Tangenz bedeutet, dass jeder Kontaktradius senkrecht zu seiner Seite steht und alle vier senkrechten Abstände vom Zentrum gleich sind.

Ein Quadrat ist tangential, und jeder nicht degenerierte Rhombus ist tangential. Ein allgemeines Rechteck ist nur dann tangential, wenn es ein Quadrat ist, weil ein eingeschriebener Kreis, der sowohl horizontale als auch vertikale Seiten berührt, gleiche Abstände zwischen den beiden Paaren gegenüberliegender Seiten erfordert.

Die Winkelhalbierenden an den Scheitelpunkten verlaufen durch die Kreismittellinie, da ein von zwei sich schneidenden Seitenlinien äquidistanter Punkt auf einer Winkelhalbierenden liegt. Die Konstruktion von Kandidatenhalbierenden und die Überprüfung gleicher senkrechter Abstände bietet eine geometrische Möglichkeit, den vorgeschlagenen Kreis zu überprüfen, anstatt sich nur auf Seitenlängen zu verlassen.

Warum sind die Gegenseitensummen in einem tangentialen Viereck gleich?

Tangentensegmente, die vom gleichen äußeren Scheitelpunkt zu einem Kreis gezogen werden, haben gleiche Längen. Beschriften Sie die beiden Tangentenstücke aus aufeinanderfolgenden Eckpunkten als x, y, z und w. Die vier Seitenlängen sind dann x + y, y + z, z + w und w + x.

Das Hinzufügen von gegenüberliegenden Seiten ergibt in beiden Fällen x + y + z + w. Daher für tangential ABCD, AB + CD = BC + DA. Diese notwendige Beziehung wird gemeinhin Pitots Theorem genannt und ist nützlich, um eine fehlende Seite zu finden, wenn Tangentialität gegeben ist.

If AB = 7 cm, BC = 9 cm und CD = 8 cm, dann DA = 7 + 8 − 9 = 6 cm. Der Umfang ist 30 cm. Eine gescheiterte Seite-Die Summengleichheit schließt die Tangentialität aus, aber die Gleichheit als Test für ein bestimmtes gezeichnetes Viereck zu verwenden, erfordert die geeigneten geometrischen umgekehrten Bedingungen und nicht eine nicht unterstützte Annahme.

Wie berechnet man die Fläche eines tangentialen Vierecks?

Verbinden Sie das Incircle-Zentrum mit den vier Eckpunkten. Das Viereck teilt sich in vier Dreiecke, deren Basis ihre Seiten sind und deren senkrechte Höhen alle Inradius r sind. Addiert man ihre Flächen, ergibt sich K = r(a + b + c + d)/2 = rs, wobei s der Semiperimeter ist.

Für das tangentiale Viereck mit Seitenlängen 7, 9, 8 und 6 cm, ist der Semiperimeter 15 cm. Wenn der Inradius 2 cm, ist, ist seine Fläche K = 2 × 15 = 30 cm². Die Formel hängt vom gemeinsamen Tangentenkreis ab, nicht nur davon, vier Seitenlängen zu kennen.

Die gleiche Flächenbeziehung K = rs funktioniert für jede konvexe Polygontangente an einen Kreis, unter Verwendung von Inradius und Semiperimeter. Die gemeinsame-Die Zerlegung von Höhendreiecken erklärt die Formel und ihre Annahmen. Wenn ein Kreis nur einige Seiten berührt, müssen die verbleibenden Dreieckshöhen nicht gleich r sein.

Kann ein Viereck sowohl zyklisch als auch tangential sein?

Ja. Ein solches Viereck wird als bizentrisch bezeichnet, und ein Quadrat ist ein bekanntes Beispiel. Für ein Quadrat der Seite a ist der Inradius a/2 und der Umkreis ist die halbe Diagonale, a/√2. Die beiden Kreise teilen sich ein Zentrum wegen der Symmetrie des Quadrats.

Andere bizentrische Vierecke existieren, aber gemeinsame Zentren sollten nicht allgemein angenommen werden. Zyklisch zu sein begrenzt die Eckpunkte und Winkel, während tangentiale Seitenabstände und Tangentenabschnitte begrenzt. Die Kombination beider Bedingungen ergibt eine zusätzliche Struktur, ohne jedes dieser Vierecke zu einem Quadrat zu machen.

Der Hintergrund unterscheidet zwischen dem Einschreiben eines Polygons in einen Kreis und dem Umschreiben um einen Kreis. Die Wörter können ähnlich klingen, also beschreiben Sie den Kontakt explizit: Eckpunkte auf dem äußeren Kreis gegenüber Seiten, die den inneren Kreis berühren. Diese visuelle Beziehung bestimmt, welche Familie von Theoremen relevant ist.

Welche Fehler sollten Sie mit diesen Vierecken vermeiden?

Nicht anwenden gegenteilige-Winkelergänzungsregeln, nur weil ein Kreis in der Nähe eines Vierecks erscheint. Alle vier Eckpunkte müssen auf dem gleichen Kreis liegen, oder die Zyklizität muss nachgewiesen werden. Ebenso folgen gleiche gegenüberliegende Seitensummen aus einer vier-Seitenkreis, nicht von einem beliebigen inneren Kreis, der nur zwei oder drei Seiten berührt.

Halten Sie gegenüberliegende und benachbarte Paare unterschiedlich. Für Eckpunkte in der Reihenfolge A, B, C, D sind die entgegengesetzten Winkel A und C, während gegenüberliegende Seiten AB und CD sind. Das Zeichnen der Scheitelpunktreihenfolge verhindert eindeutig, dass ein korrekter Satz auf das falsche Paar angewendet wird.

Überprüfen Sie schließlich jede berechnete Seite oder jeden Winkel auf geometrische Gültigkeit. Seitenlängen müssen positiv sein, Innenwinkel eines gewöhnlichen konvexen Vierecks liegen zwischen Null und 180 Grad und ihre Summe beträgt 360 Grad. Ersetzen Sie die ursprüngliche Kreisrelation sowie die allgemeinen Polygonbedingungen, bevor Sie das Ergebnis akzeptieren.