System liczb opiera się na ścisłej hierarchii zbiorów. Każdy kolejny poziom rozwiązuje ograniczenia poprzedniego – od liczenia obiektów dyskretnych po pomiar ciągłych wielkości fizycznych.

---

Liczby naturalne

Służą do zliczania elementów dyskretnych.

• Symbol: ℕ (lub N)
• Elementy: {0, 1, 2, 3, …} lub {1, 2, 3, …} w zależności od przyjętej konwencji aksjomatycznej.
• Ograniczenie: Odejmowanie większej liczby od mniejszej nie ma w tym zbiorze rozwiązania.

---

Liczby całkowite

Rozszerzają zbiór liczb naturalnych o wartości ujemne, domykając działanie odejmowania.

• Symbol: ℤ (lub Z)
• Elementy: {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
• Relacja: ℕ ⊂ ℤ
• Ograniczenie: Dzielenie dwóch liczb całkowitych nie zawsze daje wynik całkowity.

---

Liczby wymierne

Wszystkie liczby, które można zapisać w postaci ułamka zwykłego:

^p⁄_q, gdzie p ∈ ℤ, q ∈ ℤ \ {0}

• Symbol: ℚ (lub Q)
• Cechy: Rozwinięcie dziesiętne jest skończone (np. 0,25) lub nieskończone okresowe (np. 0,333…).
• Relacja: ℤ ⊂ ℚ (każdą liczbę całkowitą k można zapisać jako k/1).
• Ograniczenie: Zbiór ten nie pozwala zmierzyć np. długości przekątnej kwadratu o boku 1.

---

Liczby niewymierne

Wartości, których nie da się przedstawić za pomocą ilorazu dwóch liczb całkowitych.

• Symbol: ℝ \ ℚ (lub IQ)
• Cechy: Rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe.
• Przykłady: √2, √3, π, e

---

Liczby rzeczywiste

Suma zbioru liczb wymiernych i niewymiernych. Zapewnia ciągłość – każdemu punktowi na osi liczbowej odpowiada dokładnie jedna liczba rzeczywista.

• Symbol: ℝ (lub R)
• Równanie: ℝ = ℚ ∪ (ℝ \ ℚ)

---

Podsumowanie

Zbiór	Symbol	Definicja	Rozwinięcie dziesiętne
Naturalne	ℕ	Liczby do zliczania: {0, 1, 2, …}	Brak ułamka
Całkowite	ℤ	Naturalne oraz ich ujemne odpowiedniki	Brak ułamka
Wymierne	ℚ	Iloraz p/q (q ≠ 0)	Skończone lub nieskończone okresowe
Niewymierne	ℝ \ ℚ	Brak zapisu w postaci p/q	Nieskończone nieokresowe
Rzeczywiste	ℝ	Suma liczb wymiernych i niewymiernych	Wypełnia całą oś liczbową

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ