System liczb opiera się na ścisłej hierarchii zbiorów. Każdy kolejny poziom rozwiązuje ograniczenia poprzedniego – od liczenia obiektów dyskretnych po pomiar ciągłych wielkości fizycznych.
Liczby naturalne
Służą do zliczania elementów dyskretnych.
- Symbol: ℕ (lub N)
- Elementy: {0, 1, 2, 3, …} lub {1, 2, 3, …} w zależności od przyjętej konwencji aksjomatycznej.
- Ograniczenie: Odejmowanie większej liczby od mniejszej nie ma w tym zbiorze rozwiązania.
Liczby całkowite
Rozszerzają zbiór liczb naturalnych o wartości ujemne, domykając działanie odejmowania.
- Symbol: ℤ (lub Z)
- Elementy: {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
- Relacja: ℕ ⊂ ℤ
- Ograniczenie: Dzielenie dwóch liczb całkowitych nie zawsze daje wynik całkowity.
Liczby wymierne
Wszystkie liczby, które można zapisać w postaci ułamka zwykłego:
p⁄q, gdzie p ∈ ℤ, q ∈ ℤ \ {0}
- Symbol: ℚ (lub Q)
- Cechy: Rozwinięcie dziesiętne jest skończone (np. 0,25) lub nieskończone okresowe (np. 0,333…).
- Relacja: ℤ ⊂ ℚ (każdą liczbę całkowitą k można zapisać jako k/1).
- Ograniczenie: Zbiór ten nie pozwala zmierzyć np. długości przekątnej kwadratu o boku 1.
Liczby niewymierne
Wartości, których nie da się przedstawić za pomocą ilorazu dwóch liczb całkowitych.
- Symbol: ℝ \ ℚ (lub IQ)
- Cechy: Rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe.
- Przykłady: √2, √3, π, e
Liczby rzeczywiste
Suma zbioru liczb wymiernych i niewymiernych. Zapewnia ciągłość – każdemu punktowi na osi liczbowej odpowiada dokładnie jedna liczba rzeczywista.
- Symbol: ℝ (lub R)
- Równanie: ℝ = ℚ ∪ (ℝ \ ℚ)
Podsumowanie
| Zbiór | Symbol | Definicja | Rozwinięcie dziesiętne |
|---|---|---|---|
| Naturalne | ℕ | Liczby do zliczania: {0, 1, 2, …} | Brak ułamka |
| Całkowite | ℤ | Naturalne oraz ich ujemne odpowiedniki | Brak ułamka |
| Wymierne | ℚ | Iloraz p/q (q ≠ 0) | Skończone lub nieskończone okresowe |
| Niewymierne | ℝ \ ℚ | Brak zapisu w postaci p/q | Nieskończone nieokresowe |
| Rzeczywiste | ℝ | Suma liczb wymiernych i niewymiernych | Wypełnia całą oś liczbową |
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ